Какова вероятность проверить половину лампочек, если в ящике содержится три неисправные лампочки и семь исправных

Shustrik

29

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить правило умножения для нахождения вероятности события.

Для начала, давайте посмотрим на общее количество возможностей извлечения двух исправных лампочек. Изначально, в ящике содержится семь исправных лампочек, поэтому первая лампочка может быть выбрана из этих семи вариантов. После выбора первой исправной лампочки, в ящике остаются шесть исправных лампочек, из которых мы можем выбрать вторую исправную лампочку. Следовательно, общее количество возможностей извлечения двух исправных лампочек равно произведению количества вариантов выбора первой и второй лампочек: \(7 \cdot 6 = 42\).

Теперь давайте выясним, сколько из этих возможностей соответствуют условию задачи, то есть выбору двух исправных лампочек после извлечения определенного количества неисправных лампочек.

Мы знаем, что в ящике содержится три неисправные лампочки. Нам нужно проверить половину лампочек, что означает, что мы выбираем две исправные лампочки. Чтобы вычислить количество возможных вариантов выбора двух исправных лампочек после извлечения трех неисправных лампочек, нам нужно вычислить количество возможных вариантов выбора двух исправных лампочек из оставшихся семи исправных лампочек.

Для этого мы можем использовать формулу сочетания, которая выражается как \({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, a \(k\) - количество элементов, которое мы выбираем.

В нашем случае, мы имеем \(n = 7\) (общее количество исправных лампочек) и \(k = 2\) (количество исправных лампочек, которые мы выбираем). Подставляя значения в формулу сочетания, мы получаем:

\({{7}\choose{2}} = \frac{{7!}}{{2!(7-2)!}} = \frac{{7!}}{{2! \cdot 5!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{2! \cdot 5!}} = \frac{{7 \cdot 6}}{{2!}} = \frac{{7 \cdot 6}}{{2}} = 7 \cdot 3 = 21\).

Итак, мы приходим к выводу, что есть 21 возможный вариант выбора двух исправных лампочек после извлечения трех неисправных лампочек.

Теперь мы можем найти вероятность того, что мы проверим половину лампочек. Вероятность вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В нашем случае, благоприятными исходами являются случаи, когда мы выбираем две исправные лампочки после извлечения трех неисправных лампочек, их количество равно 21. Общее количество возможных исходов равно 42. Следовательно, вероятность того, что мы проверим половину лампочек, составляет \(\frac{{21}}{{42}}\), что можно упростить до \(\frac{1}{2}\).

Итак, вероятность проверить половину лампочек в данной ситуации равна \(\frac{1}{2}\).