Какова вероятность точного различия средних двух рядов, каждый из которых состоит из 5 значений, если генеральные
Какова вероятность точного различия средних двух рядов, каждый из которых состоит из 5 значений, если генеральные дисперсии неизвестны, но равны? Средние значения в этих рядах равны 13 и 10, а выборочные дисперсии отдельных значений составляют 2,5 и 4,35 соответственно.
Арина 34
Для решения этой задачи нам необходимо использовать t-тест Стьюдента. Он позволит нам определить, насколько различны средние значения двух рядов при предположении равных генеральных дисперсий.Первым шагом нам необходимо определить значение t-статистики. Формула для расчета t-статистики выглядит следующим образом:
\[t = \dfrac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1} + \dfrac{S_2^2}{n_2}}}\]
где:
\(\bar{X_1}\) и \(\bar{X_2}\) - средние значения двух выборок,
\(S_1^2\) и \(S_2^2\) - выборочные дисперсии каждого из рядов,
\(n_1\) и \(n_2\) - размеры этих выборок.
Подставляя значения из условия задачи, получим:
\[t = \dfrac{13 - 10}{\sqrt{\dfrac{2.5}{5} + \dfrac{4.35}{5}}}\]
Рассчитаем значение t:
\[t = \dfrac{3}{\sqrt{0.5 + 0.87}}\]
\[t = \dfrac{3}{\sqrt{1.37}}\]
\[t \approx 3.33\]
Следующим шагом нам нужно определить количество степеней свободы (degrees of freedom). Формула для расчета количества степеней свободы при условии, что обе выборки имеют одинаковую размерность, выглядит так:
\[df = n_1 + n_2 - 2\]
Подставляя значения из условия задачи, получим:
\[df = 5 + 5 - 2\]
\[df = 8\]
Теперь, используя полученные значения t и df, мы можем определить критическое значение t из таблицы распределения Стьюдента. Для этого задачи предполагаем двустороннюю альтернативную гипотезу.
Предположим, что уровень значимости \(\alpha\) равен 0.05. Найдем критическое значение t для данного уровня значимости и количества степеней свободы.
Из таблицы распределения Стьюдента находим критическое значение t, равное 2.306.
Теперь мы можем принять решение на основе сравнения полученного значения t со значением критического значения. Если значение t превышает критическое значение, мы отклоняем нулевую гипотезу о равенстве средних значений двух рядов.
В данном случае, полученное значение t (3.33) превышает критическое значение t (2.306), следовательно, мы отклоняем нулевую гипотезу о равенстве средних значений двух рядов.
Таким образом, мы можем сделать вывод о наличии статистически значимого различия между средними значениями двух рядов. Вероятность точного различия средних двух рядов равна вероятности ошибки первого рода, т.е. уровню значимости \(\alpha\).
Надеюсь, этот ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.