Какова вероятность того, что число успехов в диапазоне от 570 до 900 включительно в 1500 независимых испытаниях, если

Darya

28

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,4, а количество испытаний равно 1500. Пусть Х будет случайной величиной, представляющей число успехов.

Для нахождения вероятности того, что число успехов будет в диапазоне от 570 до 900 включительно, нам нужно найти сумму вероятностей для всех значений этого диапазона.

Мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения, так как количество испытаний достаточно велико и вероятность успеха достаточно близка к 0,5.

Среднее значение для биномиального распределения можно найти по формуле: \(\mu = n \cdot p\), где \(n\) - количество испытаний, а \(p\) - вероятность успеха. В нашем случае, \(\mu = 1500 \cdot 0,4 = 600\).

Дисперсия для биномиального распределения можно найти по формуле: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)\), где \(n\) и \(p\) имеют те же значения, что и ранее. В нашем случае, \(\sigma^2 = 1500 \cdot 0,4 \cdot (1-0,4) = 360\).

Следующим шагом мы можем найти стандартное отклонение \(\sigma\) путем извлечения квадратного корня из дисперсии. В нашем случае, \(\sigma = \sqrt{360} \approx 18,97\).

Теперь мы можем использовать нормальное приближение с помощью Z-преобразования. Значение Z-переменной равно \((x - \mu) / \sigma\), где \(x\) - это количество успехов. Для верхней границы диапазона (900), \(x = 900\) и \(Z_1 = (900 - 600) / 18,97 \approx 15,82\). Для нижней границы диапазона (570), \(x = 570\) и \(Z_2 = (570 - 600) / 18,97 \approx -1,58\).

Теперь нам нужно найти вероятность для каждой границы, используя таблицу Z-значений или калькулятор. Для верхней границы, мы ищем вероятность, что \(Z\) будет больше или равно 15,82. Для нижней границы, мы ищем вероятность, что \(Z\) будет меньше или равно -1,58.

Таким образом, задача сводится к вычислению разницы между двумя вероятностями: \(P(Z > 15,82) - P(Z < -1,58)\).

Точные значения этих вероятностей можно найти с помощью таблицы Z-значений. Однако, я предоставлю пример вычислений с использованием SciPy (библиотека для научных вычислений в языке программирования Python):

python

from scipy.stats import norm



# Верхняя граница диапазона

Z1 = (900 - 600) / 18.97

# Рассчитываем вероятность P(Z > 15.82)

prob1 = 1 - norm.cdf(Z1)



# Нижняя граница диапазона

Z2 = (570 - 600) / 18.97

# Рассчитываем вероятность P(Z < -1.58)

prob2 = norm.cdf(Z2)



# Результат - вероятность того, что число успехов будет в диапазоне от 570 до 900

result = prob1 - prob2

Таким образом, вероятность того, что число успехов будет в диапазоне от 570 до 900 включительно в 1500 независимых испытаниях, составляет приблизительно \(result\) (округленная до нужного количества знаков после запятой).

Данное решение позволяет нам расчитать вероятность с использованием нормального приближения. Однако, если необходимо использовать точные значения, можно обратиться к таблице Z-значений.