Какова вероятность того, что из урны, содержащей 5 белых и 4 черных шаров, наугад вынутые 3 шара будут содержать

Ящерица

25

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать понятие комбинаторики и вероятности. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Найдем общее количество способов вытащить 3 шара из урны, содержащей 5 белых и 4 черных шара. Мы можем воспользоваться формулой сочетания без повторений:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(C_n^k\) обозначает количество сочетаний из n элементов по k элементов, а \(n!\) - факториал числа n, равный произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае n=9 (общее количество шаров в урне), k=3 (количество шаров, которые мы вытаскиваем), поэтому:

\[
C_9^3 = \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}} = \frac{{9!}}{{3!6!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{3! \cdot 6!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 84
\]

Таким образом, у нас есть 84 различных способа выбрать 3 шара из урны.

Шаг 2: Найдем количество способов выбрать 2 белых шара из 5 белых. Мы можем использовать ту же формулу сочетания без повторений:

\[
C_5^2 = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10
\]

Таким образом, у нас есть 10 способов выбрать 2 белых шара из 5.

Шаг 3: Найдем количество способов выбрать 1 черный шар из 4 черных. Мы снова воспользуемся формулой сочетания без повторений:

\[
C_4^1 = \frac{{4!}}{{1!(4-1)!}} = \frac{{4!}}{{1! \cdot 3!}} = \frac{{4 \cdot 3!}}{{1! \cdot 3!}} = \frac{{4}}{{1}} = 4
\]

Таким образом, у нас есть 4 способа выбрать 1 черный шар из 4.

Шаг 4: Найдем вероятность того, что из урны наугад вынутые 3 шара будут содержать 2 белых. Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов (т.е. выбора 2 белых шаров) к общему числу возможных исходов (т.е. выбора 3 шаров):

\[
P = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число возможных исходов}}}} = \frac{{\text{{количество способов выбрать 2 белых шара из 5}} \cdot \text{{количество способов выбрать 1 черный шар из 4}}}}{{\text{{общее количество способов выбрать 3 шара из 9}}}}
\]

Подставив значения из предыдущих шагов, получим:

\[
P = \frac{{10 \cdot 4}}{{84}} = \frac{{40}}{{84}} = \frac{{10}}{{21}}
\]

Таким образом, вероятность того, что из урны, содержащей 5 белых и 4 черных шара, наугад вынутые 3 шара будут содержать 2 белых, равна \(\frac{{10}}{{21}}\) или приближенно 0.476 (округлено до трех знаков после запятой).

Определение вероятности и вычисление различных комбинаторных задач являются важными темами в теории вероятностей и комбинаторике, которые имеют разнообразные применения в реальной жизни.