Какова вероятность того, что на танец все юноши пригласят девушек, которые не повторяются?

Весенний_Сад

5

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо определить общее количество вариантов и количество благоприятных вариантов.

Предположим, что на танцы приглашается \(n\) юношей и \(n\) девушек. Если нам нужно, чтобы каждый юноша пригласил девушку, которая не повторяется, значит, первый юноша может выбирать из \(n\) девушек, второй юноша из \(n-1\) девушек (потому что одну девушку уже выбрал первый юноша), третий юноша из \(n-2\) девушек и так далее. В общем случае, \(i\)-й юноша будет выбирать из \(n-(i-1)\) девушек.

Теперь давайте рассмотрим общее количество вариантов. Первый юноша может выбрать любую из \(n\) девушек, второй юноша может выбрать из оставшихся \(n-1\) девушек, третий юноша из \(n-2\) девушек и так далее. Общее количество вариантов будет равно \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\), что равно \(n!\) (читается как "n факториал").

Теперь мы можем посчитать количество благоприятных вариантов, а именно количество способов, которыми юноши могут пригласить девушек без повторений. Если каждый юноша приглашает по одной девушке без повторений, то благоприятных вариантов будет \(n!\), так как мы считаем все возможные перестановки девушек.

В итоге, вероятность того, что на танец все юноши пригласят девушек, которые не повторяются, равна отношению числа благоприятных вариантов к общему количеству вариантов:
\[
P = \frac{{n!}}{{n!}} = 1
\]

Таким образом, вероятность того, что на танец все юноши пригласят девушек, которые не повторяются, равна 1 или 100%.