Какова вероятность того, что разломанный стержень длиной l можно использовать для построения треугольника из полученных

Anzhela

36

Для того чтобы разломанный стержень длиной \( l \) можно использовать для построения треугольника, необходимо выполнение неравенства треугольника. Неравенство треугольника гласит, что для любых трех отрезков длин \( a \), \( b \) и \( c \), сумма длин любых двух отрезков всегда должна быть больше длины оставшегося третьего отрезка.

Таким образом, в случае нашей задачи для возможности построения треугольника из трех отрезков, полученных при разломе стержня длиной \( l \), должны выполняться следующие условия:

1. Длина каждого отрезка должна быть положительной величиной: \( a > 0 \), \( b > 0 \), \( c > 0 \).
2. Сумма длин любых двух отрезков должна быть больше длины третьего: \( a + b > c \), \( b + c > a \), \( a + c > b \).

Теперь рассмотрим вероятность того, что случайно выбранный отрезок длиной \( x \) удовлетворяет условиям построения треугольника.

Поскольку длина стержня разламывается равномерно и независимо, вероятность того, что первый ломаный отрезок будет удовлетворять неравенству треугольника, составляет половину. То же самое относится ко второму ломаному отрезку.

Следовательно, вероятность того, что оба полученных отрезка можно будет использовать для построения треугольника, равна произведению вероятностей их соответствия условиям треугольника:

\[ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \].

Таким образом, вероятность того, что разломанный стержень длиной \( l \) можно использовать для построения треугольника из полученных отрезков, составляет \( \frac{1}{4} \) или 25%.