Какова вероятность того, что случайно выбранная точка внутри полукруга заданного условиями ρ ≤ 2 cos φ, 0 ≤ φ

Volshebnyy_Leprekon_6882

44

Для начала, давайте рассмотрим уравнения полукругов. У нас есть два полукруга заданные в полярных координатах. Первый полукруг задан уравнением \( \rho \leq 2 \cos \phi \), где \( 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \), а второй задан уравнением \( \rho \leq 2 \sin \phi \), где \( 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \).

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри первого полукруга также окажется внутри второго полукруга, нам необходимо посчитать отношение площадей области пересечения этих полукругов к площади первого полукруга.

1. Давайте найдем точку пересечения двух полукругов. Для этого приравняем уравнения первого и второго полукругов:

\[
2 \cos \phi = 2 \sin \phi
\]

Получим:

\[
\tan \phi = 1
\]

Отсюда находим значение угла \( \phi = \frac{\pi}{4} \).

2. Теперь вычислим площади областей первого и второго полукругов:

Площадь первого полукруга:

\[
S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi
\]

Площадь второго полукруга:

\[
S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi
\]

3. Найдем площадь области пересечения полукругов. Это будет площадь фигуры, ограниченной дугами полукругов и прямой \( \phi = \frac{\pi}{4} \). Эту площадь можно найти как разность площадей сектора и двух равнобедренных равнобедренных прямоугольных треугольников:

Сектор:

\[
S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (2 \cdot 2) = 2\pi
\]

Равнобедренные треугольники:

\[
S_{\text{треугольника}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 4
\]

Таким образом, площадь области пересечения равна \( 2\pi - 4 \).

4. Наконец, найдем отношение площади пересечения полукругов к площади первого полукруга:

\[
P = \frac{S_{\text{пересечения}}}{S_1} = \frac{2\pi - 4}{2\pi} \approx 1 - \frac{2}{\pi}
\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри первого полукруга также окажется внутри второго полукруга, примерно равна \( 1 - \frac{2}{\pi} \).