Какова вероятность того, что случайно выбранная точка внутри полукруга заданного условиями ρ ≤ 2 cos φ, 0 ≤ φ

Volshebnyy_Leprekon_6882

44

Для начала, давайте рассмотрим уравнения полукругов. У нас есть два полукруга заданные в полярных координатах. Первый полукруг задан уравнением $\rho \le 2\cos \varphi$, где $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$, а второй задан уравнением $\rho \le 2\sin \varphi$, где $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри первого полукруга также окажется внутри второго полукруга, нам необходимо посчитать отношение площадей области пересечения этих полукругов к площади первого полукруга.

1. Давайте найдем точку пересечения двух полукругов. Для этого приравняем уравнения первого и второго полукругов:

$$2\cos \varphi =2\sin \varphi$$

Получим:

$$\tan \varphi =1$$

Отсюда находим значение угла $\varphi =\frac{\pi }{4}$.

2. Теперь вычислим площади областей первого и второго полукругов:

Площадь первого полукруга:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi$$

Площадь второго полукруга:

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi$$

3. Найдем площадь области пересечения полукругов. Это будет площадь фигуры, ограниченной дугами полукругов и прямой $\varphi =\frac{\pi }{4}$. Эту площадь можно найти как разность площадей сектора и двух равнобедренных равнобедренных прямоугольных треугольников:

Сектор:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot (2\cdot 2)=2\pi$$

Равнобедренные треугольники:

$$S_{\text{треугольника}}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \sin \frac{\pi }{4}=4$$

Таким образом, площадь области пересечения равна $2\pi -4$.

4. Наконец, найдем отношение площади пересечения полукругов к площади первого полукруга:

$$P=\frac{S_{\text{пересечения}}}{S_1}=\frac{2\pi -4}{2\pi }\approx 1-\frac{2}{\pi }$$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри первого полукруга также окажется внутри второго полукруга, примерно равна $1-\frac{2}{\pi }$.