Какова вероятность того, что три автобуса, встретившихся случайным образом, будут иметь различные цвета, если в городе

София

12

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определение общего числа возможных исходов.

Из условия задачи нам известно, что в городе курсируют автобусы пяти разных цветов, и количество автобусов каждого цвета одинаково. Пусть каждый цвет обозначен буквой A, B, C, D и E.

Мы хотим узнать вероятность того, что три автобуса, встретившихся случайным образом, будут иметь различные цвета. Для этого нам нужно определить общее число возможных исходов.

У нас есть пять цветовых вариантов для первого автобуса, пять цветовых вариантов для второго автобуса и пять цветовых вариантов для третьего автобуса. Таким образом, общее число возможных исходов равно произведению количества вариантов для каждого автобуса:

\[общее \space количество \space исходов = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\]

Шаг 2: Определение количества благоприятных исходов.

Теперь мы должны определить количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбрать три разных цвета из пяти возможных.

Мы можем использовать комбинаторный подход, а именно формулу сочетаний, чтобы решить эту задачу. Формула сочетаний записывается следующим образом:

\[^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

где \(n\) - общее количество объектов, а \(r\) - количество объектов, которые мы хотим выбрать.

В нашем случае у нас есть пять цветовых вариантов, и мы хотим выбрать три разных цвета. Подставим значения в формулу:

\[^5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2}=10\]

Таким образом, у нас есть 10 благоприятных исходов.

Шаг 3: Расчет вероятности.

Наконец, мы можем рассчитать вероятность того, что три автобуса, встретившихся случайным образом, будут иметь различные цвета, используя отношение числа благоприятных исходов к общему количеству исходов:

\[вероятность = \frac{количество \space благоприятных \space исходов}{общее \space количество \space исходов} = \frac{10}{125} = \frac{2}{25}\]

Таким образом, вероятность того, что три автобуса, встретившихся случайным образом, будут иметь различные цвета, равна \(\frac{2}{25}\).