Какова вероятность того, что все три урны будут заполнены, если случайным образом на них распределены четыре шара?

Matvey

21

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить количество возможных исходов, в которых все три урны будут заполнены, и поделить его на общее количество возможных исходов.

Допустим, у нас есть три урны, обозначим их как Урна 1, Урна 2 и Урна 3.
Также у нас есть четыре шара, обозначим их как Шар 1, Шар 2, Шар 3 и Шар 4.

Первый шар может быть помещен в любую из трех урн, поэтому у нас есть 3 возможных варианта размещения первого шара.

После того, как первый шар был размещен, у нас остается 3 урны и 3 шара. Второй шар может быть помещен в любую из этих трех урн, поэтому у нас остается 3 возможных варианта размещения второго шара.

Таким же образом, после размещения первых двух шаров, у нас остается 2 урны и 2 шара. Третий шар может быть помещен в любую из этих двух урн, поэтому у нас остается 2 возможных варианта размещения третьего шара.

После размещения первых трех шаров, у нас остается 1 урна и 1 шар. Поскольку нам нужно заполнить все три урны, мы должны разместить последний шар в оставшейся урне. У нас есть только 1 возможный вариант размещения последнего шара.

В итоге, общее количество возможных исходов, в которых все три урны будут заполнены, равно произведению всех возможных вариантов размещения каждого шара:
\(3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 18\).

Общее количество возможных исходов в задаче равно произведению количества урн на количество шаров:
\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\).

Теперь мы можем определить вероятность того, что все три урны будут заполнены:
\(\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}} = \frac{18}{81} \approx 0.222\).

Таким образом, вероятность того, что все три урны будут заполнены, составляет около 0.222 или примерно 22.2%.