Какова высота цилиндра, вписанного в шар (касающегося обоих оснований цилиндра), если известен радиус шара?

Tainstvennyy_Rycar

65

Чтобы найти высоту цилиндра, вписанного в шар, нам понадобятся некоторые геометрические соотношения и формулы. Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть радиус шара равен \( R \), а высота цилиндра, которую мы хотим найти, равна \( h \).

1. Сначала рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через его центр и основание цилиндра. Данное сечение будет кругом радиуса \( R \).
Согласно геометрическим свойствам, радиус \( R \) шара является радиусом основания цилиндра.
Таким образом, радиус основания цилиндра равен \( R \).

2. Заметим, что высота цилиндра будет равной расстоянию между основанием и вершиной шара.
Обозначим это расстояние \( d \).

3. Со стороны соседних точек шара и цилиндра, проходящих через их общую вершину (то есть, точек касания), возможно построить прямую. Эта прямая будет проходить через центр шара.
Таким образом, проведенная прямая будет являться высотой цилиндра и радиусом шара одновременно.

4. Нам известно, что прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная касательной, проходит через точку касания. Это следует из свойств окружности.
Значит, рассмотрев треугольник, образованный радиусом шара, высотой цилиндра и отрезком длиной \( d \), мы можем применить теорему Пифагора для нахождения высоты цилиндра \( h \):
\[ h^2 = R^2 - d^2 \]

5. Мы знаем, что отрезок длиной \( d \) является радиусом шара, то есть \( d = R \).
Подставим это значение в формулу из предыдущего шага:
\[ h^2 = R^2 - R^2 = 0 \]

6. Итак, получается, что \( h^2 = 0 \). Чтобы найти высоту цилиндра \( h \), полученный результат нужно извлечь из квадратного корня:
\[ h = \sqrt{0} = 0 \]

Таким образом, мы пришли к выводу, что высота цилиндра, вписанного в шар, равна нулю. Это говорит о том, что такой цилиндр не имеет высоты и является плоским диском, совпадающим с основанием шара.