Какова высота правильной шестиугольной призмы с равными сторонами основания в 1 см и большой диагональю

Сверкающий_Джентльмен

61

Для решения этой задачи, нам необходимо разобраться в основных свойствах правильной шестиугольной призмы.

Поскольку у нас есть шестиугольная призма, она имеет два правильных шестиугольника в основании, и все боковые грани являются прямоугольниками. Мы также знаем, что стороны основания равны 1 см. Задача состоит в определении высоты призмы.

Мы можем начать с того, что разобьем шестиугольную призму на два треугольника, соединив противоположные вершины основания. Таким образом, мы получим равнобедренные треугольники.

Поскольку равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления высоты треугольника.

Так как сторона основания равна 1 см, то единичный треугольник будет иметь две стороны равными 1 см и одну сторону равную большой диагонали.

Обозначим высоту треугольника как \(h\) и большую диагональ как \(d\).

Применим теорему Пифагора к равнобедренному треугольнику:

\[
h^2 = d^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = d^2 - \frac{1}{4}
\]

Теперь нам нужно определить значение \(d\).

Большая диагональ, соединяющая противоположные вершины основания шестиугольника, можно выразить через сторону основания используя правило равностороннего треугольника.

Для правильного шестиугольника правило равностороннего треугольника гласит, что отношение длины большой диагонали \(d\) к длине стороны основания \(s\) равно \(\sqrt{3}\):

\[
\frac{d}{1} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad d = \sqrt{3}
\]

Теперь, заменим \(d\) в нашем уравнении:

\[
h^2 = (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{4} = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}
\]

Чтобы найти высоту \(h\), возьмем квадратный корень из обоих сторон уравнения:

\[
h = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.658 \, \text{см}
\]

Итак, высота правильной шестиугольной призмы с основанием длиной 1 см и большой диагональю равной \(\sqrt{3}\) составляет приблизительно 1.658 см.