Какова высота правильной треугольной пирамиды, если ее основание равно 72 м, а боковое ребро составляет угол

Звёздочка

65

Для решения этой задачи вам понадобится знание геометрии и тригонометрии. Давайте пошагово решим эту задачу:

Шаг 1: Понимание задачи
Мы имеем правильную треугольную пирамиду. Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является правильным треугольником, и все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. В данной задаче известны размеры пирамиды: длина основания равна 72 м и угол между плоскостью основания и боковым ребром составляет 30°.

Шаг 2: Поиск высоты пирамиды
Нам нужно найти высоту пирамиды. Обозначим высоту как \(h\).

Шаг 3: Разбиение пирамиды
Рассмотрим проекцию пирамиды на плоскость основания. Мы получим равнобедренный треугольник, у которого одна из сторон равна 72 м, а угол \(30°\) образуется между плоскостью основания и одним из боковых ребер пирамиды.

Шаг 4: Поиск сторон равнобедренного треугольника
Чтобы найти высоту пирамиды, нам сначала нужно найти стороны равнобедренного треугольника. Зная, что основание равностороннего треугольника равно 72 метрам, мы можем узнать длину каждой из сторон этого треугольника. Для этого нам понадобится применить тригонометрию.

Так как треугольник равносторонний, все его углы равны \(60°\). У нас есть угол между плоскостью основания и одним из боковых ребер пирамиды, который равен \(30°\). Таким образом, у нас получается подобный треугольник напротив угла \(30°\) внутри равностороннего треугольника.

Теперь мы можем найти длину стороны равнобедренного треугольника, обозначим ее как \(x\):

\[
\sin(30°) = \frac{{\frac{x}{2}}}{{72}}
\]

Решив это уравнение относительно \(x\), мы найдем длину стороны равнобедренного треугольника.

Шаг 5: Нахождение высоты пирамиды
Теперь, когда мы знаем длину стороны равнобедренного треугольника, мы можем использовать прямоугольный треугольник, образованный этой стороной и высотой пирамиды.

Мы имеем следующую связь:

\[
\tan(30°) = \frac{h}{\frac{x}{2}}
\]

Теперь, решив это уравнение относительно \(h\), мы найдем высоту пирамиды.

Шаг 6: Вычисление и ответ
Вычислив \(x\) и \(h\), мы найдем сторону и высоту пирамиды соответственно.

Таким образом, путем решения уравнений, мы можем найти высоту правильной треугольной пирамиды при заданных условиях.