Какова высота треугольной пирамиды, если ее апофема равна 39 и боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью

Sherlok

13

Для решения задачи о высоте треугольной пирамиды, нам потребуется использовать теорему Пифагора и связь высоты пирамиды с апофемой и боковым ребром.

Дано: апофема пирамиды \(a = 39\) и угол между боковым ребром и плоскостью основания \(\angle BAC = 60^\circ\).

Чтобы найти высоту пирамиды, сначала найдем длину бокового ребра треугольника основания \(AB\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(AC\) (апофема пирамиды), один из катетов равен \(AB\) (боковое ребро), а другой катет - радиус вписанной окружности \(r\).

Теорема Пифагора гласит:

\[AC^2 = AB^2 + r^2\]

Используя данную формулу, можно выразить длину бокового ребра:

\[AB = \sqrt{AC^2 - r^2}\]

Теперь подставим известные значения:

\[AB = \sqrt{39^2 - r^2}\]

Теперь найдем значение радиуса вписанного в треугольник окружности \(r\).

Заметим, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным, а значит его медиана, проведенная из прямого угла, также является высотой треугольника.

Теперь можно использовать связь высоты пирамиды с апофемой и боковым ребром:

\[h = \sqrt{a^2 - AB^2}\]

Подставив значения, найденные ранее:

\[h = \sqrt{39^2 - (\sqrt{39^2 - r^2})^2}\]

Теперь остается только найти значение радиуса \(r\).

Из треугольника \(ABC\) известно, что угол \(\angle BAC = 60^\circ\), а радиус \(r\) образует с боковым ребром угол \(\angle RAB = 90^\circ\).

Таким образом, треугольник \(ABR\) является прямоугольным со сторонами \(AB\) и \(AR\) и углом \(\angle BAR = 60^\circ\).

Используя косинусную теорему в прямоугольном треугольнике \(ABR\), получим:

\[AB^2 = AR^2 + r^2 - 2 \cdot AR \cdot r \cdot \cos(\angle BAR)\]

Заметим, что \(\cos(\angle BAR) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), а также \(AR = \frac{AB}{2}\).

Подставим известные значения:

\[AB^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + r^2 - 2 \cdot \frac{AB}{2} \cdot r \cdot \frac{1}{2}\]

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\[AB^2 = \frac{AB^2}{4} + r^2 - AB \cdot r\]

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[AB^2 - \frac{AB^2}{4} - AB \cdot r + r^2 = 0\]

Домножаем уравнение на 4 для упрощения:

\[4AB^2 - AB^2 - 4AB \cdot r + 4r^2 = 0\]

Объединяем одинаковые слагаемые:

\[3AB^2 - 4AB \cdot r + 4r^2 = 0\]

Разбиваем уравнение на квадратные члены:

\[(3A)B^2 + (-4r)AB + (4r)^2 = 0\]

Используя формулу дискриминанта, найдем значение \(r\):

\[D = (-4r)^2 - 4(3A)(4r)^2 = 0\]

\[16r^2 - 48A(r)^2 = 0\]

\[16r^2(1 - 3A) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(r\):

1) \(r_1 = 0\) (получаем нулевое значение, что нереально в данном контексте задачи).

2) \(r_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 39\) (это будет радиус круга, вписанного в треугольник).

Теперь подставим значения радиуса в уравнение для нахождения высоты:

\[h = \sqrt{a^2 - AB^2}\]

\[h = \sqrt{39^2 - (\sqrt{39^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 39)^2})^2}\]

Вычислим это значение и получим окончательный ответ.