Какова высота воды в баке, если диаметр струи уменьшается на 10% при падении с высоты 1м от отверстия бокового

Zolotoy_Ray_2568

69

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип сохранения энергии. При падении струи воды с высоты 1м она приобретает кинетическую энергию. Эта энергия будет расходоваться на преодоление трения и на подъем воды в баке.

Пусть \(h\) - искомая высота воды в баке после падения струи, \(v\) - скорость струи в момент падения.

Кинетическая энергия струи определяется формулой:

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(m\) - масса струи, которая определяется объемом струи и плотностью воды:

\[m = V \cdot \rho\]

где \(V\) - объем струи и \(\rho\) - плотность воды.

Мы знаем, что объем струи определяется площадью поперечного сечения \(S\) и длиной струи \(l\):

\[V = S \cdot l\]

Также мы знаем, что площадь поперечного сечения струи связана с её диаметром \(D\) следующим образом:

\[S = \frac{\pi D^2}{4}\]

Теперь рассмотрим изменение диаметра струи. По условию, диаметр уменьшается на 10%. Это значит, что новый диаметр струи будет равен \(0.9D\).

Теперь можем записать выражение для кинетической энергии струи:

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot (S \cdot l \cdot \rho) \cdot v^2\]

После изменения диаметра струи, площадь поперечного сечения становится \(S" = \frac{\pi (0.9D)^2}{4}\).

Таким образом, новая кинетическая энергия струи будет:

\[E"_k = \frac{1}{2} \cdot (S" \cdot l \cdot \rho) \cdot v"^2\]

где \(v"\) - скорость струи после изменения диаметра.

Так как начальная кинетическая энергия и конечная кинетическая энергия должны быть одинаковыми (принцип сохранения энергии), мы можем записать следующее соотношение:

\[E_k = E"_k\]

Подставим значения и упростим выражение:

\[\frac{1}{2} \cdot (S \cdot l \cdot \rho) \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot (S" \cdot l \cdot \rho) \cdot v"^2\]

\[\frac{1}{2} \cdot (\frac{\pi D^2}{4} \cdot l \cdot \rho) \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{\pi (0.9D)^2}{4} \cdot l \cdot \rho) \cdot v"^2\]

\[\frac{\pi D^2}{8} \cdot v^2 = \frac{\pi (0.9D)^2}{8} \cdot v"^2\]

\[\frac{D^2}{8} \cdot v^2 = \frac{(0.9D)^2}{8} \cdot v"^2\]

\[D^2 \cdot v^2 = (0.9D)^2 \cdot v"^2\]

\[D^2 \cdot v^2 = (0.9 \cdot D)^2 \cdot (0.9 \cdot v)^2\]

\[D^2 = (0.9 \cdot D)^2 \cdot (0.9 \cdot v)^2 / v^2\]

\[1 = (0.9 \cdot D)^2 \cdot (0.9 \cdot v)^2 / (D^2 \cdot v^2)\]

Упростим дальше:

\[1 = (0.9 \cdot 0.9)^2 \cdot (v / D)^2\]

\[1 = 0.81 \cdot (v / D)^2\]

\[(v / D)^2 = \frac{1}{0.81}\]

\[v / D = \sqrt{\frac{1}{0.81}}\]

\[v / D = \frac{1}{0.9}\]

Теперь мы можем использовать подобие треугольников для нахождения соотношения между высотами струи до и после падения:

\(\frac{h}{1} = \frac{h"+1}{0.9}\)

Упростим это уравнение:

\(0.9h = h" + 1\)

Таким образом, \(h" = 0.9h-1\).

Итак, мы получили выражение для высоты столба воды в баке после падения струи.