Какова высота вусеченного конуса с диагональю осевого сечения 10 и радиусами оснований 2 и 4? Предоставьте чертеж

Yabednik

8

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и формулу объёма конуса.

1) Начнём с рисования конуса.

[Чертеж конуса]

2) Теперь посмотрим на оси конуса и его осевое сечение. Для понимания, что такое диагональ осевого сечения, представьте, что вы разрезали конус вдоль его оси, и образовалось сечение в виде треугольника.

[Чертеж осевого сечения]

3) У нас есть два основания конуса с радиусами 2 и 4. Обозначим меньший радиус как \(r_1\) и больший радиус как \(r_2\).

4) Также у нас есть диагональ осевого сечения, обозначим её как \(d\), в данном случае \(d = 10\).

5) С помощью теоремы Пифагора можем найти высоту \(h\) треугольника осевого сечения.

\[r_1^2 + h^2 = d^2\]

\[2^2 + h^2 = 10^2\]

\[4 + h^2 = 100\]

\[h^2 = 100 - 4\]

\[h^2 = 96\]

\[h = \sqrt{96}\]

\[h = 4\sqrt{6}\]

6) В основании конуса у нас окружности радиусами 2 и 4, поэтому площадь меньшего основания равна \(\pi \cdot r_1^2\) и площадь большего основания равна \(\pi \cdot r_2^2\).

7) Для того чтобы найти объём вусеченного конуса, вычтем объём меньшего конуса (с вершиной на меньшем основании) из объёма большего конуса (с вершиной на большем основании).

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot r_2^2 \cdot H - \frac{1}{3} \pi \cdot r_1^2 \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot h - \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{6} - \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6}\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 64\sqrt{6} - \frac{1}{3} \pi \cdot 16\sqrt{6}\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot (64 - 16)\sqrt{6}\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 48\sqrt{6}\]

Таким образом, высота вусеченного конуса с диагональю осевого сечения 10 и радиусами оснований 2 и 4 равна \(4\sqrt{6}\), а его объём равен \(\frac{1}{3} \pi \cdot 48\sqrt{6}\).