Каково будет поднятие второго шара после абсолютно неупругого столкновения с первым шаром, когда более легкий

Pavel

7

Для решения этой задачи, давайте использовать законы сохранения импульса и энергии.

Пусть первый шар имеет массу \(m_1\) и изначальную скорость \(v_1\), а второй шар - массу \(m_2\) и изначальную скорость \(v_2\). После столкновения, первый шар останется неподвижным, а второй шар отклонится от равновесия на 90° и начнет движение.

Используя закон сохранения импульса, мы можем записать:

Масса первого шара умноженная на его начальную скорость равна массе второго шара умноженной на его скорость после столкновения:

\[m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2"\]

Здесь \(v_2"\) - скорость второго шара после столкновения.

Также, поскольку столкновение абсолютно неупругое, энергия системы сохраняется. Исходная кинетическая энергия двух шаров равна их суммарной кинетической энергии после столкновения.

Вычислим начальную кинетическую энергию:

\[K_{1i} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\]

Также вычислим конечную кинетическую энергию после столкновения:

\[K_{2f} = \frac{1}{2} m_1 \cdot 0^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2\]

Поскольку мы знаем, что второй шар отклоняется от равновесия на 90° и отпускается, его конечная скорость будет равна 0. Таким образом, мы можем записать:

\[0 = \frac{1}{2} m_1 \cdot 0^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2\]

Теперь мы можем решить эти уравнения для скорости второго шара после столкновения и для силы натяжения нити.

Решение:

Начнем с уравнения сохранения импульса:

\[m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2"\]

Теперь рассмотрим уравнение сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot 0^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2\]

Учитывая, что \(v_2 = 0\) и \(v_2"^2 = v_2"^2\), упростим уравнение:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2"^2\]

Мы можем выразить \(v_2"\) в терминах \(v_1\) и масс шаров:

\[v_2" = \frac{m_1}{m_2} \cdot v_1\]

Теперь мы можем вычислить скорость второго шара после столкновения.

Чтобы вычислить силу натяжения нити, обратимся к второму закону Ньютона, который говорит, что сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы на ускорение:

\[\sum F = m \cdot a\]

Так как второй шар движется по окружности, сила натяжения нити направлена к центру окружности и вызывает радиальное ускорение.

Выразим силу натяжения нити через массу шара \(m_2\) и радиальное ускорение \(a_r\):

\[F_{\text{натяжения}} = m_2 \cdot a_r\]

Радиальное ускорение связано с центростремительным ускорением \(a_c\) и радиусом окружности \(R\):

\[a_r = a_c = \frac{v_2"^2}{R}\]

Теперь мы можем выразить силу натяжения нити в терминах массы, скорости и радиуса:

\[F_{\text{натяжения}} = m_2 \cdot \frac{v_2"^2}{R}\]

Итак, мы решили задачу: мы выразили скорость второго шара после столкновения через его начальную скорость и массы обоих шаров, а также выразили силу натяжения нити через массу второго шара, его скорость после столкновения и радиус окружности.