Каково давление газа внутри сферы диаметром 20 см, содержащей кислород при температуре 17°С? Сколько молекул находится

Medvezhonok

45

Для решения этой задачи, нам потребуется применить идеальный газовый закон, который связывает давление, объем, температуру и количество вещества газа. В данном случае у нас есть сфера с кислородом, поэтому мы можем использовать формулу давления для сферы.

Шаг 1: Найдем объем газа внутри сферы.
Объем сферы может быть выражен через ее радиус \(r\) следующим образом: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).
Диаметр сферы составляет 20 см, значит радиус будет равен половине диаметра: \(r = \frac{20 \, \text{см}}{2} = 10 \, \text{см}\).
Переведем радиус в метры: \(r = 10 \, \text{см} \times 0.01 = 0.1 \, \text{м}\).

Теперь мы можем вычислить объем сферы: \(V = \frac{4}{3} \pi (0.1 \, \text{м})^3\).
Расчитаем это выражение:

\[ V = \frac{4}{3} \pi (0.1 \, \text{м})^3 \approx 0.004\, \text{м}^3 \]

Шаг 2: Рассчитаем давление газа внутри сферы.
Мы можем использовать идеальный газовый закон: \(P \cdot V = n \cdot R \cdot T\), где \(P\) - давление, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная (около \(8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}\)), \(T\) - температура.

Мы знаем объем газа (\(V = 0.004 \, \text{м}^3\)), температуру (\(T = 17°С = 290 \, \text{К}\)) и хотим вычислить давление (\(P\)).
Так как нам известны все величины, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

\[ P = \frac{n \cdot R \cdot T}{V} \]

Теперь мы должны найти количество вещества газа (\(n\)).
Для этого мы можем использовать формулу: \(n = \frac{m}{M}\), где \(m\) - масса газа, \(M\) - молярная масса газа.

Допустим, мы хотим найти количество молекул в 1 см3 газа (\(n_1\)).

Шаг 3: Рассчитаем количество молекул в 1 см3 газа.
Для этого сначала нам нужно узнать массу газа в 1 см3. Поскольку мы знаем, что объем газа и диаметр свободного пробега молекул одинаковы, можно предполагать, что газ находится в условиях идеального газа и использовать величины, связанные с ним. Таким образом, можно применить формулу \(PV = nRT\) для нашего случая.

Так как \(V_1 = 1 \, \text{см}^3\), \(T = 290 \, \text{К}\) и \(P = P_1\) (давление внутри сферы), мы можем записать:

\[ P_1 \cdot V_1 = n_1 \cdot R \cdot T \]
\[ n_1 = \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{R \cdot T}} \]

Теперь мы можем подставить соответствующие значения:

\[ n_1 = \frac{{P_1 \cdot 1}}{{8.314 \cdot 290}} \, \text{моль} \]

Используем это значение количества вещества, чтобы вычислить количество молекул (\(N_1\)), умножив на Авогадро́ву постоянную (\(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль}\)):

\[ N_1 = n_1 \cdot N_A \, \text{молекул} \]

После подстановки всех значений можно рассчитать количество молекул в 1 см3 газа.

Итак, для ответа на задачу "Каково давление газа внутри сферы диаметром 20 см, содержащей кислород при температуре 17°С?" необходимо рассчитать \(P\) по формуле \(P = \frac{n \cdot R \cdot T}{V}\), используя найденные значения, и для следующей задачи "Сколько молекул находится в 1 см3 газа, если длина свободного пробега молекул равна диаметру сосуда и молекулы не сталкиваются друг с другом?" рассчитать \(N_1\) по формуле \(N_1 = n_1 \cdot N_A\), где \(n_1 = \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{R \cdot T}}\) и подставить значения \(V_1 = 1 \, \text{см}^3\), \(T = 290 \, \text{К}\) и \(P_1 = P\) (давление ин внутри сферы).