Каково доказательство параллелограмма MNPQ, где точка M находится внутри треугольника ABC, и векторы MN, MP и MQ равны

Мышка

35

Для доказательства параллелограмма MNPQ будем использовать свойства векторов.

Итак, у нас есть многоугольник MNPQ, где точка M находится внутри треугольника ABC. Из условия задачи нам также известно, что вектор MN равен вектору AB, вектор MP равен вектору AC, а вектор MQ равен вектору BC.

Для начала рассмотрим векторную сумму векторов MA и MQ:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{MQ}\) (свойство векторов)

Теперь заметим, что векторная сумма векторов MA и AQ равна вектору AP:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AP}\)

Мы можем выразить вектор AQ, исходя из известных векторов:

\(\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ}\)

Подставим это выражение в наше уравнение:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{AP}\)

Теперь заметим, что векторная сумма векторов MA и AC равна вектору MC:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MC}\)

Подставим это выражение в наше уравнение:

\(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{AP}\)

Но мы помним, что вектор MC равен вектору MP:

\(\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{AP}\)

Теперь вспомним, что вектор MP равен вектору AC:

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{AP}\)

Или, переупорядочивая слагаемые:

\(\overrightarrow{CQ} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP}\)

Но мы также знаем, что вектор CQ равен вектору BC:

\(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP}\)

Теперь мы видим, что векторная сумма векторов BC и AC равна вектору AB:

\(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\)

Таким образом, мы можем переписать предыдущее уравнение следующим образом:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP}\)

Заметим, что вектор AP равен вектору NP:

\(\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{AB}\)

Таким образом, мы получили, что вектор NP равен вектору AB, что было дано в условии задачи. Аналогично можно показать, что векторы MN, MP и MQ также равны соответствующим векторам треугольника ABC.

Таким образом, по определению параллелограмма, мы доказали, что MNPQ - параллелограмм.

Надеюсь, объяснение было понятным и помогло вам понять доказательство параллелограмма MNPQ!