Каково доказательство равенства между периметрами подобных треугольников и коэффициентом подобия?

Барсик

9

Доказательство равенства между периметрами подобных треугольников и коэффициентом подобия можно провести следующим образом:

Дано: Два подобных треугольника с коэффициентом подобия $k$. Пусть периметр первого треугольника равен $P_1$, а периметр второго треугольника – $P_2$.

Доказательство:
1. Обозначим стороны первого треугольника через $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а стороны второго треугольника – через $a_2$, $b_2$ и $c_2$.
2. Поскольку треугольники подобны, справедливы следующие соотношения:
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$$
3. По определению периметра выражаем каждую сторону через сумму длин отрезков:
$$P_1=a_1+b_1+c_1,P_2=a_2+b_2+c_2$$
4. Подставляем выражения для сторон через коэффициент подобия:
$$P_1=k{a}_2+k{b}_2+k{c}_2,P_2=a_2+b_2+c_2$$
5. Обратим внимание на то, что каждая сторона второго треугольника домножается на $k$ в периметре первого треугольника.
6. Но поскольку коэффициент подобия одинаков для каждой пары сторон, мы можем записать:
$$P_1=k(a_2+b_2+c_2)=k{P}_2$$

Таким образом, мы доказали, что периметр подобного треугольника $P_1$ равен произведению коэффициента подобия $k$ и периметра подобного треугольника $P_2$.