Каково доказательство равенства между периметрами подобных треугольников и коэффициентом подобия?

Барсик

9

Доказательство равенства между периметрами подобных треугольников и коэффициентом подобия можно провести следующим образом:

Дано: Два подобных треугольника с коэффициентом подобия \(k\). Пусть периметр первого треугольника равен \(P_1\), а периметр второго треугольника – \(P_2\).

Доказательство:
1. Обозначим стороны первого треугольника через \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\), а стороны второго треугольника – через \(a_2\), \(b_2\) и \(c_2\).
2. Поскольку треугольники подобны, справедливы следующие соотношения:
\[
\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k
\]
3. По определению периметра выражаем каждую сторону через сумму длин отрезков:
\[
P_1 = a_1 + b_1 + c_1, \quad P_2 = a_2 + b_2 + c_2
\]
4. Подставляем выражения для сторон через коэффициент подобия:
\[
P_1 = ka_2 + kb_2 + kc_2, \quad P_2 = a_2 + b_2 + c_2
\]
5. Обратим внимание на то, что каждая сторона второго треугольника домножается на \(k\) в периметре первого треугольника.
6. Но поскольку коэффициент подобия одинаков для каждой пары сторон, мы можем записать:
\[
P_1 = k(a_2 + b_2 + c_2) = kP_2
\]

Таким образом, мы доказали, что периметр подобного треугольника \(P_1\) равен произведению коэффициента подобия \(k\) и периметра подобного треугольника \(P_2\).