В какие точки переместится точка A при повороте на углы 30°, 45° и 120° вокруг начала координат с сохранением

Misticheskiy_Lord_4028

57

Чтобы решить эту задачу, нам нужно представить себе, как происходит поворот точки A вокруг начала координат. При повороте на угол, противоположный направлению часовой стрелки, координаты точки будут меняться противоположным образом.

Давайте рассмотрим каждый угол поворота по отдельности.

1. Поворот на 30°:
При повороте на 30° против часовой стрелки, координаты точки A изменятся следующим образом:
\(x" = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y\)
\(y" = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\)

2. Поворот на 45°:
При повороте на 45° против часовой стрелки, координаты точки A изменятся следующим образом:
\(x" = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y\)
\(y" = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y\)

3. Поворот на 120°:
При повороте на 120° против часовой стрелки, координаты точки A изменятся следующим образом:
\(x" = -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y\)
\(y" = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y\)

Давайте найдем новые координаты точки A для каждого из этих углов поворота.

a) Поворот на 30°:
Вспомним, что начальные координаты точки A - (x, y) = (1, 0).
Подставим эти значения в уравнения поворота:
\(x" = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(y" = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}\)

Таким образом, после поворота на 30° точка A переместится в новые координаты (x", y") = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{1}{2}\))

b) Поворот на 45°:
Подставим начальные координаты точки A = (1, 0) в уравнения поворота:
\(x" = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(y" = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Таким образом, после поворота на 45° точка A переместится в новые координаты (x", y") = (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\))

c) Поворот на 120°:
Подставим начальные координаты точки A = (1, 0) в уравнения поворота:
\(x" = -\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = -\frac{1}{2}\)
\(y" = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Таким образом, после поворота на 120° точка A переместится в новые координаты (x", y") = (-\(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))

Итак, точка A, при повороте на 30°, 45° и 120° вокруг начала координат с сохранением направления и центра, переместится в следующие точки:
a) (x", y") = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{1}{2}\))
b) (x", y") = (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\))
c) (x", y") = (-\(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))