Каково доказательство того, что S в этом случае?

Vesenniy_Les

5

Для начала, чтобы понять, какое именно значение имеет переменная S в данном случае, нужно обратиться к условию задачи и изучить его внимательно. После того, как у нас будет ясное представление о том, что означает S, мы сможем перейти к построению доказательства.

Теперь давайте рассмотрим условие задачи более подробно. Если в условии приведены какие-то формулы или условия, давайте изучим их внимательно, чтобы лучше понять, как связана переменная S с остальными данными.

Предположим, что задача формулируется следующим образом: "Докажите, что \(S = \frac{{n(n+1)}}{2}\), где n - натуральное число".

Шаг 1: Мы можем начать доказательство с индукции по n. Для этого сначала проверим базовое условие, то есть случай n = 1. Подставим это значение в выражение для S и проверим, что оно выполняется:
\[S = \frac{{1(1+1)}}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
То есть для n = 1 условие выполняется.

Шаг 2: Теперь проверим индукционное предположение. Предположим, что для некоторого k значение \(S = \frac{{k(k+1)}}{2}\) выполняется.

Шаг 3: Теперь докажем, что высказывание верно и для n = k + 1. Рассмотрим выражение для \(S = \frac{{(k+1)((k+1)+1)}}{2}\):
\[S = \frac{{(k+1)(k+2)}}{2}.\]

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:
\[S = \frac{{k^2 + 3k + 2}}{2}.\]

Заметим, что данный результат может быть записан следующим образом:
\[S = \frac{{k(k+1)}}{2} + k + 1.\]

Мы заметили, что \(\frac{{k(k+1)}}{2}\) является значением S для n = k в соответствии с нашим индукционным предположением. Кроме того, мы возможно заметили, что k + 1 представляет оставшийся член в нашем раскрытом выражении. Таким образом, мы можем записать:
\[S = \frac{{k(k+1)}}{2} + k + 1 = S + k + 1.\]

Из этого следует, что \(S = \frac{{n(n+1)}}{2}\) выполняется для любого натурального числа n.

Таким образом, мы доказали, что \(S = \frac{{n(n+1)}}{2}\) для любого натурального числа n в соответствии с нашим доказательством по индукции.