Каково количество целых положительных чисел, у которых последние две цифры в их восьмеричной записи одинаковы, запись

Zoya_6059

27

Для решения данной задачи нам потребуется использовать некоторые свойства восьмеричной системы счисления и основные принципы комбинаторики.

По условию, нам необходимо найти количество целых положительных чисел, у которых последние две цифры в их восьмеричной записи одинаковы, запись не содержит цифры 00, и сумма цифр в записи равна 77 в десятичной системе.

Перейдем к анализу отдельных условий по порядку.

1. Последние две цифры в восьмеричной записи одинаковы.
Восьмеричная система счисления содержит цифры от 0 до 7. Исключая цифру 00, у нас остается 7 вариантов для выбора двух одинаковых цифр. Возможные варианты: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77.

2. Запись не содержит цифры 00.
Так как нам необходимо, чтобы запись не содержала цифры 00, то у нас есть только один вариант выбора цифры для первого разряда, а именно 1. Таким образом, мы исключаем варианты с двумя нулями в качестве первой цифры.

3. Сумма цифр в записи равна 77 в десятичной системе.
Для подсчета количества чисел со суммой цифр, равной 77, воспользуемся принципом перестановок с повторениями. Здесь нам понадобится 9 "ятичных разрядов" для обозначения цифр от 1 до 7 восьмеричной системы и цифры 1 единичного разряда для обозначения первой цифры числа. Таким образом, у нас есть 10 разрядов для размещения:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.

Мы хотим, чтобы все эти разряды, за исключением последнего, были заполнены цифрами от 1 до 7. Поскольку у нас есть 9 позиций для заполнения и 7 возможных цифр, сумма которых должна быть 77, нам нужно посчитать количество размещений с повторениями из 7 элементов по 9 позициям.

Количество таких размещений можно вычислить по формуле:

\(\frac{{(n + r - 1)!}}{{r! \cdot (n - 1)!}}\).

У нас n = 7 (количество различных цифр) и r = 9 (количество позиций для заполнения). Подставив эти значения в формулу, получим:

\(\frac{{(7 + 9 - 1)!}}{{9! \cdot (7 - 1)!}}\).

Вычислим данное выражение:

\(\frac{{15!}}{{9! \cdot 6!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 10\).

Упрощая это выражение, получаем:

\((15 \cdot 13)\cdot(2 \cdot 7)\cdot(11 \cdot 5)= 195 \cdot 14 \cdot 55\).

Вычислим данное выражение:

\(195 \cdot 14 \cdot 55 = 14 \cdot 100 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 11 = 1400 \cdot 195 \cdot 11\).

Упрощая это выражение, получаем:

\(1400 \cdot 195 \cdot 11 = 1.176.000 \cdot 11\).

Вычислим данное выражение:

\(1.176.000 \cdot 11 = 12.936.000\).

Таким образом, количество целых положительных чисел, удовлетворяющих всем указанным условиям, равно 12.936.000.

Ответ: 12.936.000.