Каково максимальное значение энергии упругой деформации пружины, когда на гладкий горизонтальный стол с вертикальной

Звездопад_Волшебник

32

m1 и пружиной жесткостью k?

Для решения этой задачи нам понадобится принцип сохранения механической энергии. Мы знаем, что в начальный момент тело имело кинетическую энергию, а в конечный момент оно уже находится в покое, но пружина деформирована и имеет потенциальную энергию упругой деформации.

Для начала, найдем кинетическую энергию тела в начальный момент времени. Кинетическая энергия связана с массой тела и его скоростью следующей формулой:

\[K_1 = \frac{1}{2} m_1 V^2\]

Дальше, когда тело с вертикальной стенкой прилипает к гладкому столу, оно останавливается. Найдем потенциальную энергию упругой деформации пружины. Потенциальная энергия упругой деформации связана с жесткостью пружины и смещением ее узлов следующей формулой:

\[U = \frac{1}{2} k x^2\]

Здесь x - смещение (степень сжатия или растяжения) пружины. Изначально пружина не деформирована, поэтому смещение (x) равно нулю.

Теперь, по принципу сохранения механической энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий в начальный момент времени должна быть равна сумме этих энергий в конечный момент времени:

\[K_1 = U\]

Подставляя значения в выражение:

\[\frac{1}{2} m_1 V^2 = \frac{1}{2} k x^2\]

Теперь можно переписать это выражение для смещения пружины:

\[x = \sqrt{\frac{m_1 V^2}{k}}\]

Так как x - степень сжатия или растяжения пружины, то максимальное значение смещения пружины соответствует максимальной энергии упругой деформации. Чтобы найти это максимальное значение, полученную формулу для x нужно максимизировать:

\[\frac{dx}{dt} = 0\]

То есть, производная x по времени должна быть равна нулю. Производная имеет следующий вид:

\[\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m_1}{k}} V\]

Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

\[\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m_1}{k}} V = 0\]

Решение этого уравнения даёт нам \(V = 0\), что означает, что максимальное значение энергии упругой деформации пружины достигается, когда тело полностью останавливается на столе.

Таким образом, при \(V = 0\), максимальное значение энергии упругой деформации пружины равно:

\[E_{max} = \frac{1}{2} k \cdot 0^2 = 0\]