Каково минимальное количество ценных бумаг, чтобы вероятность отклонения доли проданных бумаг от 0,6 не превышала 0,05

Pugayuschiy_Dinozavr_4924

39

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать нормальное распределение и формулу ЦПТ (центральной предельной теоремы).

Пусть X - количество проданных ценных бумаг. Распределение X можно считать биномиальным, так как продажа ценных бумаг - биномиальный процесс (успех или неудача). Вероятность успеха (уровень продаж) обозначим как p.

Согласно ЦПТ, при больших значениях n (количества продаж), биномиальное распределение становится похожим на нормальное распределение с параметрами μ = np и σ^2 = np(1 - p).

Для того, чтобы найти минимальное количество ценных бумаг n, нам нужно найти такое значение n, при котором вероятность отклонения доли проданных бумаг от 0,6 будет не превышать 0,05 и достигать значения 0,99.

Используя формулу ЦПТ, мы можем записать:

\[\frac{{np - 0.6}}{{\sqrt{np(1-p)}}} ≤ Z_{0.025} \] (1)

и

\[\frac{{np - 0.6}}{{\sqrt{np(1-p)}}} ≥ Z_{0.99} \] (2)

где Z_{0.025} и Z_{0.99} - критические значения стандартного нормального распределения, соответствующие уровням значимости 0,025 и 0,99 соответственно.

Значение Z_{0.025} для уровня значимости 0,025 составляет -1,96, а значение Z_{0.99} для уровня значимости 0,99 составляет 2,33.

Решим неравенства (1) и (2) относительно n.

Для неравенства (1):

\[\frac{{np - 0.6}}{{\sqrt{np(1-p)}}} ≤ -1.96 \]

Решая это неравенство относительно n, получаем:

\[\sqrt{np(1-p)} ≤ 1.96n + 1.176 \]

\[np(1-p) ≤ 3.8416n^2 + 3.4512n + 1.3816 \]

\[np - np^2 ≤ 3.8416n^2 + 3.4512n + 1.3816 \]

\[0 ≤ 3.8416n^2 + 3.4512n + 1.3816 - np + np^2 \]

Учитывая, что мы ищем минимальное количество ценных бумаг n, мы можем записать неравенство в виде квадратного трёхчлена следующим образом:

\[0 ≤ 3.8416n^2 + (3.4512 - p)n + (1.3816 - p) \]

Для неравенства (2) проведем аналогичные действия и запишем его в виде:

\[0 ≤ 3.8416n^2 + (3.4512 + p)n + (1.3816 + p) \]

Таким образом, минимальное количество ценных бумаг n будет равно наименьшему целому числу, удовлетворяющему обоим неравенствам выше.

Далее, решим их численно, используя программу:

python

import sympy as sp



# Задаем символы

n = sp.symbols("n", real=True)

p = sp.symbols("p", real=True, domain=sp.S(0, 1))

Z_0025 = -1.96

Z_099 = 2.33



# Функции

inequality_1 = 3.8416 * n2 + (3.4512 - p) * n + (1.3816 - p)

inequality_2 = 3.8416 * n2 + (3.4512 + p) * n + (1.3816 + p)



# Находим решение

solutions = sp.solveset(sp.And(inequality_1 >= 0, inequality_2 >= 0), n, sp.S.Integers)

minimum_n = sp.Min(*solutions)

minimum_n

Получаем значение минимального количества ценных бумаг n, получатся округленным до целого числа. Значение этого числа можно использовать в ответе на задачу.