Каково наименьшее значение функции y=e^-10-x *( x^2+10x-10) на интервале [−13,2]?

Leha_4935

3

Давайте решим задачу шаг за шагом. Для начала, нам необходимо найти точки экстремума данной функции на заданном интервале.

1. Найдем производную функции \(y = e^{-10-x} \cdot (x^2+10x-10)\). Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций:

\[
\begin{align*}
y" &= \left(e^{-10-x} \cdot (x^2+10x-10)\right)" \\
&= \left(e^{-10-x}\right)" \cdot \left(x^2+10x-10\right) + e^{-10-x} \cdot \left(x^2+10x-10\right)".
\end{align*}
\]

2. Найдем значение производной первого слагаемого. Используем второе свойство производной экспоненты: производная экспоненты равна самой экспоненте, умноженной на производную показателя степени:

\[
\begin{align*}
\left(e^{-10-x}\right)" &= e^{-10-x} \cdot \left(-1\right) \\
&= -e^{-10-x}.
\end{align*}
\]

3. Теперь найдем значение производной второго слагаемого. Для этого используем правило дифференцирования многочлена:

\[
\begin{align*}
\left(x^2+10x-10\right)" &= \frac{{d}}{{dx}} \left(x^2\right) + \frac{{d}}{{dx}} \left(10x\right) + \frac{{d}}{{dx}} \left(-10\right) \\
&= 2x + 10.
\end{align*}
\]

4. Теперь объединим полученные значения и выразим производную функции \(y\):

\[
y" = -e^{-10-x} \cdot (x^2+10x-10) + e^{-10-x} \cdot (2x+10).
\]

5. Найдем значения \(x\), при которых производная равна нулю. Для этого приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:

\[
\begin{align*}
-e^{-10-x} \cdot (x^2+10x-10) + e^{-10-x} \cdot (2x+10) &= 0 \\
e^{-10-x} \cdot (-x^2-10x+10+2x+10) &= 0 \\
e^{-10-x} \cdot (-x^2-8x+20) &= 0.
\end{align*}
\]

6. Мы видим, что уравнение сводится к умножению экспоненты на некоторое значение. Поскольку экспонента не обращается в ноль ни при каком значении аргумента, то уравнение будет равно нулю только тогда, когда второй множитель равен нулю:

\[
-x^2 - 8x + 20 = 0.
\]

7. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или формулы Квадратного корня. В нашем случае дискриминант равен \(D = (-8)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 20 = 144\). Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.

\[
\begin{align*}
x_1 &= \frac{{-(-8) - \sqrt{144}}}{2 \cdot (-1)} = 4 - 2\sqrt{6}, \\
x_2 &= \frac{{-(-8) + \sqrt{144}}}{2 \cdot (-1)} = 4 + 2\sqrt{6}.
\end{align*}
\]

8. Теперь найдем значение функции \(y\) в найденных точках экстремума. Для этого подставим значения \(x_1\) и \(x_2\) в исходную функцию:

\[
\begin{align*}
y_1 &= e^{-10-(4 - 2\sqrt{6})} \cdot \left((4 - 2\sqrt{6})^2 + 10(4 - 2\sqrt{6}) - 10\right), \\
y_2 &= e^{-10-(4 + 2\sqrt{6})} \cdot \left((4 + 2\sqrt{6})^2 + 10(4 + 2\sqrt{6}) - 10\right).
\end{align*}
\]

9. Теперь найдем значение функции \(y\) на границах интервала \([-13, 2]\). Подставим \(x = -13\) и \(x = 2\) в функцию \(y\):

\[
\begin{align*}
y_{-13} &= e^{-10-(-13)} \cdot \left((-13)^2 + 10(-13) - 10\right), \\
y_2 &= e^{-10-2} \cdot \left((2)^2 + 10(2) - 10\right).
\end{align*}
\]

10. Наконец, сравним все полученные значения функции \(y\) и найдем наименьшее значение на интервале \([-13, 2]\).