Каково новое среднее значение, новая дисперсия и новое стандартное отклонение набора данных, полученного умножением

  • 63
Каково новое среднее значение, новая дисперсия и новое стандартное отклонение набора данных, полученного умножением каждого числа на -2Х?
Ястребка
9
Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как умножение каждого числа в наборе данных на -2Х влияет на среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Давайте предположим, что у нас есть исходный набор данных чисел X1,X2,X3,,Xn, и нам нужно умножить каждое число на -2Х, чтобы получить новый набор данных чисел.

1. Новое среднее значение:
Среднее значение - это сумма всех чисел в наборе данных, деленная на количество чисел.
Исходное среднее значение обозначим как μ, а новое среднее значение обозначим как μ".

Исходное среднее значение: μ=X1+X2+X3++Xnn

Для каждого числа в новом наборе данных мы умножаем его на -2Х, поэтому новое среднее значение будет таким:

μ"=2ХX1+2ХX2+2ХX3++2ХXnn

Вынесем -2Х из каждого числа и получим:

μ"=2ХX1+X2+X3++Xnn

Заметим, что X1+X2+X3++Xnn эквивалентно исходному среднему значению μ, поэтому мы можем записать новое среднее значение следующим образом:

μ"=2Хμ

2. Новая дисперсия:
Дисперсия - это мера разброса значений в наборе данных.
Исходную дисперсию обозначим как σ2, а новую дисперсию обозначим как σ"2.

Исходная дисперсия: σ2=(X1μ)2+(X2μ)2+(X3μ)2++(Xnμ)2n

Для каждого числа в новом наборе данных мы умножаем его на -2Х, поэтому новая дисперсия будет такой:

σ"2=(2ХX1μ")2+(2ХX2μ")2+(2ХX3μ")2++(2ХXnμ")2n

Возведем каждое слагаемое в квадрат и раскроем скобки:

σ"2=4Х2(X1μ)2+4Х2(X2μ)2+4Х2(X3μ)2++4Х2(Xnμ)2n

Воспользуемся свойствами дисперсии и перенесем константу 4Х2 за знак суммы:

σ"2=4Х2(X1μ)2+(X2μ)2+(X3μ)2++(Xnμ)2n

Заметим, что (X1μ)2+(X2μ)2+(X3μ)2++(Xnμ)2n эквивалентно исходной дисперсии σ2, поэтому мы можем записать новую дисперсию следующим образом:

σ"2=4Х2σ2

3. Новое стандартное отклонение:
Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.
Исходное стандартное отклонение обозначим как σ, а новое стандартное отклонение обозначим как σ".

Исходное стандартное отклонение: σ=σ2

Новое стандартное отклонение будет таким:

σ"=σ"2=4Х2σ2=2Хσ

Таким образом, новое среднее значение равно 2Хμ, новая дисперсия равна 4Х2σ2, и новое стандартное отклонение равно 2Хσ.