Каково новое среднее значение, новая дисперсия и новое стандартное отклонение набора данных, полученного умножением

Ястребка

9

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как умножение каждого числа в наборе данных на -2Х влияет на среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Давайте предположим, что у нас есть исходный набор данных чисел $X_1,X_2,X_3,\dots ,X_n$, и нам нужно умножить каждое число на -2Х, чтобы получить новый набор данных чисел.

1. Новое среднее значение:
Среднее значение - это сумма всех чисел в наборе данных, деленная на количество чисел.
Исходное среднее значение обозначим как $\mu$, а новое среднее значение обозначим как $\mu "$.

Исходное среднее значение: $\mu =\frac{X_1+X_2+X_3+\dots +X_n}{n}$

Для каждого числа в новом наборе данных мы умножаем его на -2Х, поэтому новое среднее значение будет таким:

$\mu "=\frac{-2Х\cdot X_1+-2Х\cdot X_2+-2Х\cdot X_3+\dots +-2Х\cdot X_n}{n}$

Вынесем -2Х из каждого числа и получим:

$\mu "=-2Х\cdot \frac{X_1+X_2+X_3+\dots +X_n}{n}$

Заметим, что $\frac{X_1+X_2+X_3+\dots +X_n}{n}$ эквивалентно исходному среднему значению $\mu$, поэтому мы можем записать новое среднее значение следующим образом:

$\mu "=-2Х\cdot \mu$

2. Новая дисперсия:
Дисперсия - это мера разброса значений в наборе данных.
Исходную дисперсию обозначим как ${\sigma }^2$, а новую дисперсию обозначим как $\sigma {"}^2$.

Исходная дисперсия: ${\sigma }^2=\frac{(X_1-\mu {)}^2+(X_2-\mu {)}^2+(X_3-\mu {)}^2+\dots +(X_n-\mu {)}^2}{n}$

Для каждого числа в новом наборе данных мы умножаем его на -2Х, поэтому новая дисперсия будет такой:

$\sigma {"}^2=\frac{(-2Х\cdot X_1-\mu "{)}^2+(-2Х\cdot X_2-\mu "{)}^2+(-2Х\cdot X_3-\mu "{)}^2+\dots +(-2Х\cdot X_n-\mu "{)}^2}{n}$

Возведем каждое слагаемое в квадрат и раскроем скобки:

$\sigma {"}^2=\frac{4{Х}^2\cdot (X_1-\mu {)}^2+4{Х}^2\cdot (X_2-\mu {)}^2+4{Х}^2\cdot (X_3-\mu {)}^2+\dots +4{Х}^2\cdot (X_n-\mu {)}^2}{n}$

Воспользуемся свойствами дисперсии и перенесем константу $4{Х}^2$ за знак суммы:

$\sigma {"}^2=4{Х}^2\cdot \frac{(X_1-\mu {)}^2+(X_2-\mu {)}^2+(X_3-\mu {)}^2+\dots +(X_n-\mu {)}^2}{n}$

Заметим, что $\frac{(X_1-\mu {)}^2+(X_2-\mu {)}^2+(X_3-\mu {)}^2+\dots +(X_n-\mu {)}^2}{n}$ эквивалентно исходной дисперсии ${\sigma }^2$, поэтому мы можем записать новую дисперсию следующим образом:

$\sigma {"}^2=4{Х}^2\cdot {\sigma }^2$

3. Новое стандартное отклонение:
Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.
Исходное стандартное отклонение обозначим как $\sigma$, а новое стандартное отклонение обозначим как $\sigma "$.

Исходное стандартное отклонение: $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$

Новое стандартное отклонение будет таким:

$\sigma "=\sqrt{\sigma {"}^2}=\sqrt{4{Х}^2\cdot {\sigma }^2}=2Х\cdot \sigma$

Таким образом, новое среднее значение равно $-2Х\cdot \mu$, новая дисперсия равна $4{Х}^2\cdot {\sigma }^2$, и новое стандартное отклонение равно $2Х\cdot \sigma$.