Каково новое среднее значение, новая дисперсия и новое стандартное отклонение набора данных, полученного умножением

Ястребка

9

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как умножение каждого числа в наборе данных на -2Х влияет на среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Давайте предположим, что у нас есть исходный набор данных чисел \(X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n\), и нам нужно умножить каждое число на -2Х, чтобы получить новый набор данных чисел.

1. Новое среднее значение:
Среднее значение - это сумма всех чисел в наборе данных, деленная на количество чисел.
Исходное среднее значение обозначим как \(\mu\), а новое среднее значение обозначим как \(\mu"\).

Исходное среднее значение: \(\mu = \frac{{X_1 + X_2 + X_3 + \ldots + X_n}}{n}\)

Для каждого числа в новом наборе данных мы умножаем его на -2Х, поэтому новое среднее значение будет таким:

\(\mu" = \frac{{-2Х \cdot X_1 + -2Х \cdot X_2 + -2Х \cdot X_3 + \ldots + -2Х \cdot X_n}}{n}\)

Вынесем -2Х из каждого числа и получим:

\(\mu" = -2Х \cdot \frac{{X_1 + X_2 + X_3 + \ldots + X_n}}{n}\)

Заметим, что \(\frac{{X_1 + X_2 + X_3 + \ldots + X_n}}{n}\) эквивалентно исходному среднему значению \(\mu\), поэтому мы можем записать новое среднее значение следующим образом:

\(\mu" = -2Х \cdot \mu\)

2. Новая дисперсия:
Дисперсия - это мера разброса значений в наборе данных.
Исходную дисперсию обозначим как \(\sigma^2\), а новую дисперсию обозначим как \(\sigma"^2\).

Исходная дисперсия: \(\sigma^2 = \frac{{(X_1 - \mu)^2 + (X_2 - \mu)^2 + (X_3 - \mu)^2 + \ldots + (X_n - \mu)^2}}{n}\)

Для каждого числа в новом наборе данных мы умножаем его на -2Х, поэтому новая дисперсия будет такой:

\(\sigma"^2 = \frac{{(-2Х \cdot X_1 - \mu")^2 + (-2Х \cdot X_2 - \mu")^2 + (-2Х \cdot X_3 - \mu")^2 + \ldots + (-2Х \cdot X_n - \mu")^2}}{n}\)

Возведем каждое слагаемое в квадрат и раскроем скобки:

\(\sigma"^2 = \frac{{4Х^2 \cdot (X_1 - \mu)^2 + 4Х^2 \cdot (X_2 - \mu)^2 + 4Х^2 \cdot (X_3 - \mu)^2 + \ldots + 4Х^2 \cdot (X_n - \mu)^2}}{n}\)

Воспользуемся свойствами дисперсии и перенесем константу \(4Х^2\) за знак суммы:

\(\sigma"^2 = 4Х^2 \cdot \frac{{(X_1 - \mu)^2 + (X_2 - \mu)^2 + (X_3 - \mu)^2 + \ldots + (X_n - \mu)^2}}{n}\)

Заметим, что \(\frac{{(X_1 - \mu)^2 + (X_2 - \mu)^2 + (X_3 - \mu)^2 + \ldots + (X_n - \mu)^2}}{n}\) эквивалентно исходной дисперсии \(\sigma^2\), поэтому мы можем записать новую дисперсию следующим образом:

\(\sigma"^2 = 4Х^2 \cdot \sigma^2\)

3. Новое стандартное отклонение:
Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.
Исходное стандартное отклонение обозначим как \(\sigma\), а новое стандартное отклонение обозначим как \(\sigma"\).

Исходное стандартное отклонение: \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)

Новое стандартное отклонение будет таким:

\(\sigma" = \sqrt{\sigma"^2} = \sqrt{4Х^2 \cdot \sigma^2} = 2Х \cdot \sigma\)

Таким образом, новое среднее значение равно \(-2Х \cdot \mu\), новая дисперсия равна \(4Х^2 \cdot \sigma^2\), и новое стандартное отклонение равно \(2Х \cdot \sigma\).