Каково отношение неопределенностей для электрона и пылинки, если координаты их установлены с точностью до 10-5 массы

Galina

8

Отношение неопределенностей для электрона и пылинки может быть определено с использованием соотношения неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению, неопределенность в измерении координаты \( \Delta x \) и неопределенность в измерении импульса \( \Delta p \) связаны следующим образом:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

где \( \hbar \) - постоянная Планка, равная \( 1.0545718 \times 10^{-34} \) Дж⋅с (джоуль-секунда).

В этом случае, если координаты электрона и пылинки установлены с точностью до \( 10^{-5} \) массы электрона и массы пылинки соответственно, то можно считать, что их неопределенности равны \( \Delta x \approx 10^{-5} \) м.

Чтобы найти отношение неопределенностей между электроном и пылинкой, нам нужно знать их массы. Допустим, масса электрона \( m_1 \) составляет \( 9.10938356 \times 10^{-31} \) кг, а масса пылинки \( m_2 \) составляет \( 1 \times 10^{-9} \) кг.

Теперь мы можем вычислить импульсы для электрона и пылинки, используя классическую формулу для импульса \( p = m \cdot v \), где \( m \) - масса, \( v \) - скорость.

Для электрона:
\[ \Delta p_1 = m_1 \cdot \Delta v_1 \]

Для пылинки:
\[ \Delta p_2 = m_2 \cdot \Delta v_2 \]

Здесь \( \Delta v_1 \) и \( \Delta v_2 \) - неопределенности скоростей электрона и пылинки соответственно.

Теперь, используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, мы можем записать:

\[ \Delta x \cdot \Delta p = \frac{\hbar}{2} \]

\[ \Delta x_1 \cdot \Delta p_1 = \frac{\hbar}{2} \]
\[ \Delta x_2 \cdot \Delta p_2 = \frac{\hbar}{2} \]

Подставляя значения и решая уравнения, мы получаем:

\[ \Delta v_1 \approx \frac{\hbar}{2m_1 \cdot \Delta x_1} \]
\[ \Delta v_2 \approx \frac{\hbar}{2m_2 \cdot \Delta x_2} \]

Теперь мы можем найти отношение неопределенностей:

\[ \frac{\Delta v_1}{\Delta v_2} = \frac{\frac{\hbar}{2m_1 \cdot \Delta x_1}}{\frac{\hbar}{2m_2 \cdot \Delta x_2}} = \frac{m_2 \cdot \Delta x_2}{m_1 \cdot \Delta x_1} \]

Подставляя значения масс и неопределенностей, мы получаем окончательный ответ:

\[ \frac{\Delta v_1}{\Delta v_2} \approx \frac{1 \times 10^{-9} \cdot 10^{-5}}{9.10938356 \times 10^{-31} \cdot 10^{-5}} \]

После вычислений получаем:

\[ \frac{\Delta v_1}{\Delta v_2} \approx 10^{24} \]

Таким образом, отношение неопределенностей для электрона и пылинки составляет примерно \( 10^{24} \). Это означает, что неопределенность скорости электрона гораздо больше, чем неопределенность скорости пылинки, при условии, что их координаты установлены с точностью до \( 10^{-5} \) массы электрона и массы пылинки соответственно.