Каково отношение удлинений пружин, если жесткость первой пружины в 1,5 раза больше жесткости второй пружины?

Sobaka

58

Для того, чтобы определить отношение удлинений пружин, нам необходимо учесть их жесткость. По условию задачи, жесткость первой пружины в 1,5 раза больше жесткости второй пружины.

Пусть \(k_1\) - жесткость первой пружины, а \(k_2\) - жесткость второй пружины.

Отношение жесткостей пружин будет выражаться следующим образом:
\[ \frac{{k_1}}{{k_2}} = \frac{{1,5}}{{1}} = 1,5 \]

Теперь нам нужно учесть, что удлинение пружины пропорционально силе, действующей на нее. По закону Гука, удлинение пружины \(x\) пропорционально силе, вызывающей это удлинение, и жесткости самой пружины: \(x \propto \frac{{F}}{{k}}\), где \(F\) - сила, \(k\) - жесткость пружины.

Таким образом, для первой пружины удлинение \(x_1\) будет выражаться как \(x_1 \propto \frac{{F_1}}{{k_1}}\), а для второй пружины удлинение \(x_2\) будет выражаться как \(x_2 \propto \frac{{F_2}}{{k_2}}\).

Поскольку у нас нет данных о приложенных силах, мы не можем точно определить абсолютные значения удлинений пружин. Однако, мы можем определить отношение удлинений пружин.

По закону сохранения энергии, работа, совершаемая внешними силами при удлинении пружин, должна быть равна работе, которую совершают пружины, т.е. \(W_1 = W_2\).

Работа совершается по формуле \(W = \frac{1}{2} k x^2\). Приравнивая работы для обоих пружин, получаем
\[ \frac{1}{2} k_1 x_1^2 = \frac{1}{2} k_2 x_2^2 \]

Теперь можем выразить отношение удлинений пружин:
\[ \frac{{x_1}}{{x_2}} = \sqrt{\frac{{k_2}}{{k_1}}} = \sqrt{\frac{{1}}{{1,5}}} \approx 0,82 \]

Таким образом, отношение удлинений пружин будет приближенно равно 0,82. Данная величина показывает, что первая пружина будет удлиняться примерно на 0,82 раза больше, чем вторая пружина при одинаковой силе, действующей на них.