Каково отношение вероятностей нахождения элекротона в сферических слоях с толщиной Δr = 0,01a и радиусами r1 = 0,75a

Анастасия

5

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать волновую функцию основного состояния атома водорода. В данном случае волновая функция будет задана в радиальной форме, и мы будем использовать функцию Радиальной волновой функции Гайденберга.

Давайте обозначим вероятность нахождения электрона в интервале \(r_1\) до \(r_2\) как \(P(r_1, r_2)\). В данной задаче, \(r_1 = 0,75a\) и \(r_2 = 1,25a\), где \(a\) - радиус первого Боровского электронного орбита.

Формула для вычисления \(P(r_1, r_2)\) выглядит следующим образом:

\[P(r_1, r_2) = 4\pi \cdot \int_{r_1}^{r_2} |R_{10}(r)|^2 \cdot r^2 \cdot dr\]

Где \(R_{10}(r)\) - радиальная волновая функция Гайденберга для основного состояния атома водорода. Для основного состояния, радиальная волновая функция имеет следующий вид:

\[R_{10}(r) = 2\left(\frac{Z}{a}\right)^{3/2} e^{-\frac{Zr}{a}}\]

Где \(Z\) - заряд ядра (равный 1 для атома водорода).

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно вычислить интеграл, зная \(R_{10}(r)\), \(r_1\) и \(r_2\). Подставляя значения в формулу и проводя вычисления, получим:

\[P(r_1, r_2) = 4\pi \cdot \int_{r_1}^{r_2} |2\left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} e^{-\frac{r}{a}}|^2 \cdot r^2 \cdot dr\]

Вычислим модуль и возведем его в квадрат:

\[P(r_1, r_2) = 4\pi \cdot \int_{r_1}^{r_2} \left|\frac{2}{a^{3/2}} e^{-\frac{r}{a}}\right|^2 \cdot r^2 \cdot dr\]

\[P(r_1, r_2) = 4\pi \cdot \int_{r_1}^{r_2} \frac{4}{a^3} e^{-\frac{2r}{a}} \cdot r^2 \cdot dr\]

\[P(r_1, r_2) = \frac{16\pi}{a^3} \cdot \int_{r_1}^{r_2} e^{-\frac{2r}{a}} \cdot r^2 \cdot dr\]

Теперь мы можем вычислить этот интеграл. Произведем замену переменных, где \(u = -\frac{2r}{a}\), а \(du = -\frac{2}{a}dr\):

\[P(r_1, r_2) = \frac{16\pi}{a^3} \cdot \int_{-2r_1/a}^{-2r_2/a} e^{u} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot (-\frac{du}{2})\]

\[P(r_1, r_2) = \frac{8\pi}{a^2} \cdot \int_{-2r_1/a}^{-2r_2/a} e^{u} \cdot du\]

\[P(r_1, r_2) = \frac{8\pi}{a^2} \cdot \left[e^{u}\right]_{-2r_1/a}^{-2r_2/a}\]

Вычислим пределы интегрирования:

\[P(r_1, r_2) = \frac{8\pi}{a^2} \cdot \left(e^{-2r_1/a} - e^{-2r_2/a}\right)\]

Таким образом, отношение вероятностей нахождения электрона в слоях с толщиной \(Δr = 0,01a\) будет равно:

\[\frac{P(r_1, r_2)}{P(r_1, r_1 + Δr)} = \frac{e^{-2r_1/a} - e^{-2r_2/a}}{e^{-2r_1/a} - e^{-2(r_1 + Δr)/a}}\]