Каково положение центра тяжести системы шаров относительно точки их касания, если два однородных шара радиусами r

Тигренок

47

Чтобы определить положение центра тяжести системы шаров относительно точки их касания, нужно учесть массу и расстояние от центров масс каждого шара до этой точки. Положение центра тяжести можно найти, используя принцип сохранения момента импульса.

Для начала, найдем массу каждого шара. Масса шара из алюминия можно найти, умножив его объем на плотность:

\[ V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.1 \ \text{м})^3 \]

\[ m_1 = \rho_1 \cdot V_1 = (2.70 \times 10^3 \ \text{кг/м}^3) \cdot \left(\frac{4}{3} \pi (0.1 \ \text{м})^3\right) \]

Массу шара из меди можно найти таким же образом:

\[ V_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.1 \ \text{м})^3 \]

\[ m_2 = \rho_2 \cdot V_2 = (8.96 \times 10^3 \ \text{кг/м}^3) \cdot \left(\frac{4}{3} \pi (0.1 \ \text{м})^3\right) \]

Теперь определим расстояние от центра масс каждого шара до точки их касания. Поскольку оба шара радиусом 10 см, то расстояние от центра масс каждого шара до точки касания будет равно половине радиуса.

Рассмотрим алюминиевый шар. Расстояние от его центра масс до точки касания равно:

\[ d_1 = \frac{r}{2} = \frac{0.1}{2} \ \text{м} \]

Аналогично, расстояние от центра масс медного шара до точки касания будет равно:

\[ d_2 = \frac{r}{2} = \frac{0.1}{2} \ \text{м} \]

Итак, для определения положения центра тяжести системы шаров относительно точки их касания, нужно использовать следующую формулу:

\[ x_{\text{цт}} = \frac{m_1 \cdot d_1 + m_2 \cdot d_2}{m_1+m_2} \]

Подставим известные значения и решим:

\[ x_{\text{цт}} = \frac{(m_1 \cdot d_1) + (m_2 \cdot d_2)}{m_1+m_2} = \frac{(m_1 \cdot \frac{0.1}{2}) + (m_2 \cdot \frac{0.1}{2})}{m_1+m_2} \]

\[ x_{\text{цт}} = \frac{(m_1 + m_2) \cdot 0.1}{2(m_1+m_2)} \]

\[ x_{\text{цт}} = \frac{0.1}{2} \]

\[ x_{\text{цт}} = 0.05 \ \text{м} \]

Таким образом, положение центра тяжести системы шаров относительно точки их касания составляет 0.05 метра.