Каково расстояние между прямыми BC и СК в правильном тетраэдре ABCD, где точка К - середина ребра АВ, точка Е лежит

Тарас_5372

67

Конечно, я могу помочь с этим заданием. Давайте начнем с построения координатной системы.

Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0), точка B имеет координаты (0, 1, 0), а точка D имеет координаты (1, 0, 0). Так как ребро АВ делится пополам точкой К, то координаты точки К будут \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right)\).

Теперь рассмотрим точку Е на ребре СD. Учитывая, что ЕС:ЕD=1:2, мы можем найти координаты точки Е. Так как точка С имеет координаты (0, 0, 1), а точка D имеет координаты (1, 0, 0), мы можем легко найти координаты точки Е, используя данное отношение. Это будет \(\left(0+\frac{1}{3}, 0, 1-\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}\right)\).

Теперь у нас есть координаты точек B, C, D, К и Е. Чтобы найти расстояние между прямыми ВС и СК, нам нужно найти расстояние между точками C и К.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где (x₁, y₁, z₁) - координаты первой точки, а (x₂, y₂, z₂) - координаты второй точки.

Применяя эту формулу, мы можем вычислить расстояние между точками C и К:

\[d = \sqrt{\left(0 - 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 1\right)^2 + \left(0 - 0\right)^2} = \sqrt{0 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, расстояние между прямыми ВС и СК в данном правильном тетраэдре ABCD равно \( \frac{1}{2} \).