Каково расстояние между пунктами A и E, проходящее через пункт C, учитывая протяженность дорог, указанную в таблице?

Primula

53

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам понадобится таблица с протяженностью дорог между различными пунктами. Давайте рассмотрим данную таблицу:

\[
\begin{{array}}{{cccccc}}
& A & B & C & D & E \\
A & - & 10 & 7 & - & 15 \\
B & 10 & - & 4 & 5 & - \\
C & 7 & 4 & - & 6 & 11 \\
D & - & 5 & 6 & - & 8 \\
E & 15 & - & 11 & 8 & -
\end{{array}}
\]

В таблице указаны протяженности дорог между пунктами. Например, расстояние между пунктами A и B составляет 10 километров, между пунктами A и C - 7 километров, и т.д. Заметьте, что отсутствующие значения обозначены символом "-".

Теперь нам нужно найти расстояние между пунктами A и E, проходящее через пункт C. Для этого мы можем воспользоваться методом кратчайших путей или алгоритмом Дейкстры. Мы рассмотрим алгоритм Дейкстры, потому что он позволит нам найти кратчайший путь от одной точки до всех остальных точек.

Шаг 1: Создайте таблицу с тремя столбцами: "Пункт", "Расстояние от A" и "Последняя точка пути". Запишите в таблицу все пункты, кроме точки A, со значением бесконечность для "Расстояние от A" и пустым значением для "Последняя точка пути".

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & \infty & \\
C & \infty & \\
D & \infty & \\
E & \infty & \\
\end{{array}}
\]

Шаг 2: Начните с точки A. Установите значение "Расстояние от A" для точки A равным 0. Это будет начальным значением.

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & \infty & \\
C & \infty & \\
D & \infty & \\
E & \infty & \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

Шаг 3: Обновите значения "Расстояние от A" и "Последняя точка пути" для соседей точки A. В данном случае соседями точки A являются точки B и C. Обновите значения только для тех точек, которые еще не были посещены.

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 10 & A \\
C & 7 & A \\
D & \infty & \\
E & \infty & \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

Шаг 4: Выберите точку с минимальным значением "Расстояние от A", которая еще не была посещена. В данном случае это точка C.

Шаг 5: Обновите значения "Расстояние от A" и "Последняя точка пути" для соседей точки C. В данном случае соседями точки C являются точки B, D и E. Обновите значения только для тех точек, которые еще не были посещены.

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 13 & C \\
E & 18 & C \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

Шаги 4 и 5 нужно повторять до тех пор, пока все точки не будут посещены. Обновляем таблицу:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 13 & C \\
E & 18 & C \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 11 & B \\
E & 16 & D \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 10 & B \\
E & 16 & D \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 10 & B \\
E & 15 & D \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

Шаги 4 и 5 продолжаются до тех пор, пока все точки не будут посещены:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 10 & B \\
E & 15 & D \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Пункт}} & \text{{Расстояние от A}} & \text{{Последняя точка пути}} \\
B & 6 & C \\
C & 7 & A \\
D & 10 & B \\
E & 15 & D \\
A & 0 & \\
\end{{array}}
\]

Шаг 6: Когда все точки будут посещены и все значения "Расстояние от A" будут определены, вы можете определить кратчайший путь от A до E, проходящий через пункт C. Начните с точки E и используйте значения "Последняя точка пути", чтобы перемещаться назад через другие точки, пока не достигнете точку A.

Кратчайший путь от A до E, проходящий через пункт C, будет следующим: \(A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E\).

Таким образом, чтобы добраться из пункта A в пункт E, проходя через пункт C, мы должны пройти примерно 10 километров.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как определить расстояние между пунктами A и E через пункт C, учитывая протяженность дорог, указанную в таблице. Если у вас возникнут вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.