Каково расстояние от точки B(2;4;5) до плоскости, проходящей через точку M(2;-1;-2) и перпендикулярной вектору

Вулкан

24

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о расстоянии от точки до плоскости.

Шаг 1: Найдем уравнение плоскости, заданной точкой M и перпендикулярным вектором n.

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

где (A, B, C) - коэффициенты направляющего вектора плоскости, а D - константа.

Направляющий вектор плоскости можно получить из заданного перпендикулярного вектора n. Вектор нормали плоскости будет иметь компоненты (A, B, C), равные коэффициентам направляющего вектора.

Таким образом, уравнение плоскости принимает форму:

\[-4x + 12y - 3z + D = 0\]

Теперь мы можем найти константу D, используя координаты точки M:

\[-4(2) + 12(-1) - 3(-2) + D = 0\]
\[-8 - 12 + 6 + D = 0\]
\[-14 + D = 0\]
\[D = 14\]

Таким образом, уравнение плоскости примет окончательный вид:

\[-4x + 12y - 3z + 14 = 0\]

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть уравнение плоскости, мы можем найти расстояние от точки B до этой плоскости.

Формула для расчета расстояния от точки до плоскости имеет вид:

\[d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

где (x, y, z) - координаты точки B, (A, B, C) - коэффициенты направляющего вектора плоскости, а D - константа.

Подставим координаты точки B и найденные коэффициенты A, B, C и D в формулу:

\[d = \frac{|-4(2) + 12(4) - 3(5) + 14|}{\sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{|-8 + 48 - 15 + 14|}{\sqrt{16 + 144 + 9}}\]
\[d = \frac{|39|}{\sqrt{169}}\]
\[d = \frac{39}{13}\]
\[d = 3\]

Таким образом, расстояние от точки B(2;4;5) до плоскости, проходящей через точку M(2;-1;-2) и перпендикулярной вектору n=-4+12j-3k, равно 3.