Каково расстояние от точки P до прямой TK в равностороннем треугольнике ART, если задан периметр треугольника APT?

Звонкий_Спасатель

54

Для того чтобы найти расстояние от точки \( P \) до прямой \( TK \) в равностороннем треугольнике \( ART \), нужно использовать свойство равностороннего треугольника, а именно - что высота, проведенная из вершины равностороннего треугольника, будет также являться медианой и биссектрисой.

Сначала рассмотрим равносторонний треугольник \( ART \). Пусть его сторона равна \( s \). Тогда периметр треугольника \( ART \) равен:

\[ P = s + s + s = 3s \]

Так как треугольник равносторонний, то точка \( P \) находится на высоте, проходящей через вершину \( R \) и основание \( TK \). Это означает, что точка \( P \) делит высоту на две равные части, а значит, расстояние от точки \( P \) до прямой \( TK \) равно половине высоты равностороннего треугольника \( ART \).

Теперь найдем площадь треугольника \( ART \) через его периметр \( P \). По формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - s)^3} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника \( ART \), который равен:

\[ p = \frac{P}{2} = \frac{3s}{2} \]

Тогда:

\[ S = \sqrt{\frac{3s}{2} \left(\frac{3s}{2} - s\right)^3} \]

\[ S = \sqrt{\frac{3s}{2} \left(\frac{s}{2}\right)^3} \]

\[ S = \sqrt{\frac{3s}{2} \cdot \frac{s^3}{8}} \]

\[ S = \sqrt{\frac{3s^4}{16}} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} \]

Так как площадь равностороннего треугольника \( ART \) равна \( \frac{s^2\sqrt{3}}{4} \), а высота, опущенная из вершины этого треугольника к основанию, равна \( \frac{s\sqrt{3}}{2} \), то расстояние от точки \( P \) до прямой \( TK \) равно половине высоты:

\[ d = \frac{1}{2} \cdot \frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{s\sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, расстояние от точки \( P \) до прямой \( TK \) в равностороннем треугольнике \( ART \) равно \( \frac{s\sqrt{3}}{4} \), где \( s \) - длина стороны треугольника.