Каково решение уравнения 6cos^2 4x+2sin8x=5?

Nikita

21

Для решения данного уравнения, нам понадобятся некоторые основные знания о тригонометрии. Позвольте мне провести вас через пошаговое решение.

Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств
Первым шагом мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения уравнения. Помните, что \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\) и \(\sin (2A) = 2\sin A \cos A\). Давайте применим эти тождества.

Уравнение \(6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5\) можно переписать следующим образом, используя второе тождество:

\[6\cos^2 4x + 2(2\sin 4x \cos 4x) = 5.\]

Шаг 2: Замена переменной
Давайте введем новую переменную \(t = \cos 4x\), чтобы сократить количество переменных в уравнении. Тогда мы можем переписать уравнение в более простой форме:

\[6t^2 + 4t - 5 = 0.\]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac,\]
\[t_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Применяя эту формулу к нашему уравнению, мы найдем значения переменной \(t\). Подставим значения в \(a = 6\), \(b = 4\) и \(c = -5\):

\[D = 4^2 - 4(6)(-5) = 16 + 120 = 136,\]

\[t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{136}}{2(6)}.\]

Шаг 4: Решение для \(x\)
Теперь, когда у нас есть значения переменной \(t\), мы можем найти значения \(x\). Для этого мы используем обратную замену переменной \(t = \cos 4x\).

Рассмотрим сначала значение \(t_1\):

\[t_1 = \cos 4x_1,\]

где \(x_1\) - значение \(x\) для \(t_1\). Теперь возьмем обратный косинус от обоих частей уравнения:

\[\cos^{-1} t_1 = \cos^{-1} \cos 4x_1,\]
\[4x_1 = \cos^{-1} t_1.\]

Таким образом, значение \(x_1\) равно:

\[x_1 = \frac{\cos^{-1} t_1}{4}.\]

Аналогично, давайте рассмотрим второе значение \(t_2\):

\[t_2 = \cos 4x_2,\]

\[4x_2 = \cos^{-1} t_2,\]

\[x_2 = \frac{\cos^{-1} t_2}{4}.\]

Это и есть решение уравнения \(6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5\). Мы нашли значения \(x_1\) и \(x_2\) с помощью формул дискриминанта и обратной замены переменной \(t = \cos 4x\).

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ позволяет лучше понять решение данной задачи для школьника. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!