Каково соотношение изменения энтропии при изотермическом расширении и изохорическом охлаждении гелия от давления

Сэр

3

Для начала, давайте определимся с основными понятиями. Энтропия является мерой беспорядка или неопределенности системы. Она обычно обозначается символом \( S \). Изменение энтропии обычно обозначается символом \( \Delta S \) или \( \delta S \).

Изотермическое расширение означает, что процесс происходит при постоянной температуре. Изохорическое охлаждение означает, что процесс происходит при постоянном объеме. В данной задаче нам нужно выразить соотношение изменения энтропии для этих двух процессов.

Для изотермического расширения газа применяется формула Клапейрона:

\[ PV = nRT \]

где \( P \) - давление газа, \( V \) - его объем, \( n \) - количество вещества газа, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура газа.

Для изохорического процесса температура газа оказывается постоянной, а объем меняется. Поэтому можно записать:

\[ \frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}} \]

где \( P_1 \) и \( P_2 \) - изначальное и конечное давление газа соответственно, \( T_1 \) и \( T_2 \) - изначальная и конечная температура газа.

Нам также понадобится основное уравнение для изменения энтропии:

\[ \Delta S = nC_p \ln \left(\frac{{T_2}}{{T_1}}\right) \]

где \( \Delta S \) - изменение энтропии, \( n \) - количество вещества газа, \( C_p \) - теплоёмкость газа при постоянном давлении, \( T_1 \) и \( T_2 \) - изначальная и конечная температура газа.

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте выразим соотношение \( \frac{{\delta s_t}}{{\delta s_v}} \), где \( \delta s_t \) - изменение энтропии при изотермическом расширении, а \( \delta s_v \) - изменение энтропии при изохорическом охлаждении.

Из уравнения для изотермического расширения:

\[ \frac{{P_1V_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2V_2}}{{T_2}}. \]

Нам нужно выразить \( V_1 \) и \( V_2 \):

\[ V_1 = \frac{{nRT_1}}{{P_1}} \]
\[ V_2 = \frac{{nRT_2}}{{P_2}}. \]

Теперь можем выразить \( \delta s_t \):

\[ \delta s_t = nC_p \ln \left(\frac{{T_2}}{{T_1}}\right). \]

Для изохорического охлаждения из уравнения \( \frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}} \) получаем:

\[ T_2 = \frac{{P_2T_1}}{{P_1}}. \]

Теперь можем выразить \( \delta s_v \):

\[ \delta s_v = nC_p \ln \left(\frac{{T_2}}{{T_1}}\right). \]

Нам нужно выразить соотношение \( \frac{{\delta s_t}}{{\delta s_v}} \):

\[ \frac{{\delta s_t}}{{\delta s_v}} = \frac{{nC_p \ln \left(\frac{{T_2}}{{T_1}}\right)}}{{nC_p \ln \left(\frac{{T_2}}{{T_1}}\right)}} = 1. \]

Таким образом, соотношение изменения энтропии при изотермическом расширении и изохорическом охлаждении гелия от \( P_1 = 100 \) кПа до \( P_2 = 50 \) кПа равно 1.