Каково соотношение коэффициентов сопротивления k2/k1 для движения шарика в этих жидкостях? В первой жидкости шарик

Chaynyy_Drakon_2816

3

Чтобы найти соотношение коэффициентов сопротивления \(k_2/k_1\) для движения шарика в данных жидкостях, нам понадобятся законы движения вязкой жидкости и закон сохранения энергии.

Закон вязкого трения для шарика, движущегося в вязкой жидкости, можно выразить следующим уравнением:

\[F_{\text{тр}} = 6\pi \eta r v\]

где \(F_{\text{тр}}\) - сила трения, \(\eta\) - вязкость жидкости, \(r\) - радиус шарика, \(v\) - скорость движения шарика.

Сила трения состоит из двух компонент: сферической силы \(F_{\text{сф}} = 4\pi r^2 P\), где \(P\) - избыточное давление вокруг шарика, и вязкой силы, пропорциональной скорости и вязкости жидкости.

Таким образом, можно записать:

\[6\pi \eta r v = 4\pi r^2 P + 6\pi \eta r v\]

Отсюда:

\[4\pi r^2 P = 0\]

или \(P = 0\).

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии для шарика, который движется в вязкой жидкости:

\[E_{\text{нач}} = E_{\text{кi}} + E_{\text{пi}}\]

где \(E_{\text{нач}}\) - начальная энергия, \(E_{\text{кi}}\) - кинетическая энергия в начальный момент времени, \(E_{\text{пi}}\) - потенциальная энергия в начальный момент времени.

В начальный момент времени шарик не имеет начальной высоты исходя из условия задачи, поэтому можно предположить, что \(E_{\text{пi}} = 0\).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[E_{\text{нач}} = E_{\text{кi}}\]

Где:

\[E_{\text{кi}} = \frac{1}{2} m v_1^2\]

где \(m\) - масса шарика, \(v_1\) - начальная скорость движения шарика в первой жидкости.

Аналогично можно записать:

\[E_{\text{нач}} = E_{\text{кf}} + E_{\text{пf}}\]

где \(E_{\text{кf}}\) - кинетическая энергия в конечный момент времени, \(E_{\text{пf}}\) - потенциальная энергия в конечный момент времени.

Как и в начальный момент времени, в конечный момент времени шарик не изменяет своей высоты, поэтому можно предположить, что \(E_{\text{пf}} = 0\).

Аналогично вычисляем \(E_{\text{кf}}\):

\[E_{\text{кf}} = \frac{1}{2} m v_2^2\]

где \(v_2\) - скорость движения шарика во второй жидкости.

Теперь сравним начальную и конечную энергию:

\[\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2\]

Масса шарика \(m\) сокращается, и остается:

\[v_1^2 = v_2^2\]

Теперь делим одно выражение на другое:

\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{v_2}{v_1}\]

Таким образом, соотношение между скоростями шарика в двух жидкостях равно:

\[\frac{v_2}{v_1} = 1\]

то есть, коэффициенты сопротивления \(k_2/k_1\) равны \(1\).