Каково соотношение массы Марса к массе Земли, основываясь на движении его спутника Фобоса, где a = 9300 км и t = 0,32

Ягненок

30

Для решения этой задачи нам понадобятся законы Кеплера, которые описывают движение небесных тел вокруг друг друга. Согласно второму закону Кеплера, отношение кубов радиусов орбит двух небесных тел должно быть равно отношению квадратов их периодов обращения. Формулу можно записать следующим образом:

\[\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2\]

Где \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы орбит двух небесных тел, а \(T_1\) и \(T_2\) - их периоды обращения.

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти отношение масс Марса и Земли, опираясь на данные о движении спутника Фобоса вокруг Марса. Для этого нам понадобятся радиус орбиты Фобоса вокруг Марса (\(R_{\text{Марса-Фобоса}}\)) и период обращения Фобоса (\(T_{\text{Фобоса}}\)). При этом мы будем сравнивать массу Марса с массой Земли, используя соотношение масс объектов в качестве неизвестной величины.

Теперь приступим к решению задачи. У нас даны значения радиуса орбиты (\(a = 9300\) км) и периода обращения (\(t = 0.32\) суток) для Фобоса вокруг Марса. Для Луны мы также знаем радиус орбиты (\(a_{\text{Луны}}\)) и период обращения (\(t_{\text{Луны}}\)).

Для начала, найдем отношение радиусов орбит Фобоса и Луны:

\[\left(\frac{R_{\text{Марса-Фобоса}}}{R_{\text{Земля-Луна}}}}\right)^3 = \left(\frac{T_{\text{Марса-Фобоса}}}{T_{\text{Земля-Луна}}}}\right)^2\]

Заметим, что орбиты Фобоса и Луны круговые, поэтому радиус орбиты можно измерить как расстояние от центра Марса (или Земли) до Фобоса (или Луны). Для Луны радиус орбиты \(a_{\text{Луны}}\) равен примерно 384400 км (это известное нам значение).

Теперь подставим известные значения и найдем неизвестное отношение радиусов орбит:

\[\left(\frac{R_{\text{Марса-Фобоса}}}{384400 \, \text{км}}\right)^3 = \left(\frac{0.32 \, \text{суток}}{27.32 \, \text{суток}}\right)^2\]

Возводим обе части уравнения в куб и получаем:

\[\left(\frac{R_{\text{Марса-Фобоса}}}{384400 \, \text{км}}\right)^3 = \left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2\]

Теперь возьмем кубический корень от обеих частей уравнения и получим:

\[\frac{R_{\text{Марса-Фобоса}}}{384400 \, \text{км}} = \sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2}\]

Умножим обе части уравнения на 384400 км и получим:

\(R_{\text{Марса-Фобоса}} = \sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2} \times 384400 \, \text{км}\)

Таким образом, мы получим значение радиуса орбиты Фобоса вокруг Марса. Однако, задача просит нас найти соотношение массы Марса к массе Земли, а не значения радиусов орбит. Чтобы продолжить, нам понадобится еще одно уравнение.

Третий закон Кеплера утверждает, что квадраты периодов обращения двух небесных тел пропорциональны кубам их средних расстояний до Солнца (или другой небесной точки). Мы можем использовать этот закон, чтобы выразить отношение масс Марса и Земли через отношение периодов обращения Фобоса и Луны:

\[\left(\frac{T_{\text{Марса-Фобоса}}}{T_{\text{Земля-Луна}}}}\right)^2 = \left(\frac{R_{\text{Марса-Фобоса}}}{R_{\text{Земля-Луна}}}}\right)^3\]

Так как мы только что нашли значение \(R_{\text{Марса-Фобоса}}\), теперь мы можем подставить его в уравнение:

\[\left(\frac{T_{\text{Марса-Фобоса}}}{T_{\text{Земля-Луна}}}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2} \times 384400}{384400}\right)^3\]

Упростим выражение и получим:

\[\left(\frac{T_{\text{Марса-Фобоса}}}{T_{\text{Земля-Луна}}}}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2}\right)^3\]

Возведем обе части уравнения в квадрат и получим:

\[\frac{T_{\text{Марса-Фобоса}}^2}{T_{\text{Земля-Луна}}^2} = \sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2}\]

Умножим обе части уравнения на \(T_{\text{Земля-Луна}}^2\) и получим:

\(T_{\text{Марса-Фобоса}}^2 = \sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2} \times T_{\text{Земля-Луна}}^2\)

Подставим известные значения за периоды обращения Фобоса и Луны:

\(T_{\text{Марса-Фобоса}}^2 = \sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2} \times (0.32 \, \text{суток})^2\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения и получим:

\(T_{\text{Марса-Фобоса}} = \sqrt{\sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2} \times (0.32 \, \text{суток})^2}\)

Теперь у нас есть значение периода обращения Фобоса вокруг Марса.

Чтобы найти соотношение масс Марса и Земли, мы должны теперь сравнить массу Земли с массой Фобоса, используя только что найденные значения периода обращения:

\(\frac{M_{\text{Марса}}}{M_{\text{Фобоса}}} = \left(\frac{T_{\text{Марса}}}{T_{\text{Фобоса}}}}\right)^2\)

где \(T_{\text{Марса}}\) - период обращения Марса вокруг своей оси, а \(T_{\text{Фобоса}}\) - период обращения Фобоса вокруг Марса.

Теперь мы можем подставить значения периодов обращения и решить уравнение:

\(\frac{M_{\text{Марса}}}{M_{\text{Фобоса}}} = \left(\frac{24 \, \text{часов}}{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\frac{0.32}{27.32}\right)^2} \times (0.32 \, \text{суток})^2}}\right)^2\)

Вычислим это значение и найдем соотношение масс Марса и Земли:

\(\frac{M_{\text{Марса}}}{M_{\text{Фобоса}}} \approx ???\)

Пожалуйста, дайте некоторое время, чтобы вычислить это значение.