Каково соотношение между кинетической и потенциальной энергией точки, которая совершает гармонические колебания, когда

Парящая_Фея

10

Для начала, давайте разберемся в определениях кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия (K) - это энергия, связанная с движением объекта, и она вычисляется по формуле:
\[K = \frac{1}{2} m v^2\]
где m - масса точки, v - ее скорость.

Потенциальная энергия (P) - это энергия, связанная со смещением объекта от положения равновесия, и она зависит от типа движения. Для гармонических колебаний формула для потенциальной энергии имеет вид:
\[P = \frac{1}{2} k x^2\]
где k - коэффициент упругости (константа, зависящая от системы), x - смещение объекта от положения равновесия.

Теперь мы можем перейти к задаче. У нас дано, что смещение точки от положения равновесия равно \(x = \frac{a}{7}\), где a - амплитуда колебания.

Для начала, давайте найдем значения кинетической энергии (K) и потенциальной энергии (P) в этой точке.

Зная, что скорость точки в зависимости от смещения можно выразить как \(v = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot x\), и подставив данное значение смещения, мы получим:
\[v = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{a}{7}\]

Теперь, подставив полученное значение скорости в формулу для кинетической энергии, получаем:
\[K = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{a}{7}\right)^2\]

Сокращая выражение и упрощая, получаем:
\[K = \frac{1}{2} \frac{m}{49} k a^2\]

Аналогично, подставим данное значение смещения в формулу для потенциальной энергии:
\[P = \frac{1}{2} k \left(\frac{a}{7}\right)^2\]

Теперь, полученные значения кинетической и потенциальной энергий относятся друг к другу следующим образом:

\[\frac{K}{P} = \frac{\frac{1}{2} \frac{m}{49} k a^2}{\frac{1}{2} k \left(\frac{a}{7}\right)^2} = \frac{m}{49}\]

Итак, соотношение между кинетической и потенциальной энергией для точки, совершающей гармонические колебания, при смещении \(x = \frac{a}{7}\) равно \(\frac{m}{49}\).