Каково уравнение окружности, которая описывает треугольник с вершинами A (1; 3), B (1; –3) и C (–3

Космическая_Звезда

5

Чтобы найти уравнение окружности, описывающей треугольник ABC, нам необходимо знать координаты центра окружности и ее радиус.

Шаг 1: Найдем середину отрезка AB.
Середина отрезка AB будет иметь координаты \((x_1, y_1)\), где
\(x_1 = \frac{{x_A + x_B}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\),
\(y_1 = \frac{{y_A + y_B}}{2} = \frac{{3 + (-3)}}{2} = 0\).

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (1, 0).

Шаг 2: Найдем середину отрезка BC.
Середина отрезка BC будет иметь координаты \((x_2, y_2)\), где
\(x_2 = \frac{{x_B + x_C}}{2} = \frac{{1 + (-3)}}{2} = -1\),
\(y_2 = \frac{{y_B + y_C}}{2} = \frac{{-3 + (-3)}}{2} = -3\).

Таким образом, координаты середины отрезка BC равны (-1, -3).

Шаг 3: Найдем координаты центра окружности.
Центр окружности будет находиться на пересечении двух середин AB и BC. Для этого мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Сначала найдем уравнение прямой AB.
Используем формулу для уравнения прямой:

\[
\frac{{y - y_1}}{{y_2 - y_1}} = \frac{{x - x_1}}{{x_2 - x_1}}
\]

Подставляем значения:
\[
\frac{{y - 0}}{{(-3) - 0}} = \frac{{x - 1}}{{(-1) - 1}}
\]

\[
\frac{y}{{-3}} = \frac{{x - 1}}{{-2}}
\]

\[
-2y = -3x + 3
\]

\[
3x - 2y - 3 = 0
\]

Теперь найдем уравнение прямой BC.
Используем аналогичный метод:

\[
\frac{{y - y_2}}{{y_C - y_2}} = \frac{{x - x_2}}{{x_C - x_2}}
\]

Подставляем значения:
\[
\frac{{y - (-3)}}{{3 - (-3)}} = \frac{{x - (-1)}}{{1 - (-1)}}
\]

\[
\frac{{y + 3}}{{6}} = \frac{{x + 1}}{{2}}
\]

\[
2y + 6 = 6x + 2
\]

\[
6x - 2y + 4 = 0
\]

Теперь найдем точку пересечения прямых AB и BC, которая будет являться центром окружности.
Решим систему уравнений:

\[
\left\{
\begin{aligned}
3x - 2y - 3 &= 0 \\
6x - 2y + 4 &= 0
\end{aligned}
\right.
\]

Можно решить эту систему методом подстановки или методом сложения уравнений.

Решенная система:
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= 1 \\
y &= -2
\end{aligned}
\right.
\]

Таким образом, координаты центра окружности равны (1, -2).

Шаг 4: Найдем радиус окружности.
Радиус окружности равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника. Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками:

\(r = \sqrt{{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}}\), где (x, y) - координаты вершины треугольника.

Выберем вершину A (1, 3) для нахождения радиуса:

\(r = \sqrt{{(1 - 1)^2 + (3 - (-2))^2}} = \sqrt{{0^2 + 5^2}} = \sqrt{{25}} = 5\).

Таким образом, радиус окружности равен 5.

Шаг 5: Найдем окончательное уравнение окружности.
Теперь мы имеем все необходимые данные - координаты центра и радиус окружности.

Уравнение окружности имеет вид:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где (a, b) - координаты центра, r - радиус.

Подставим значения:
\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5^2\).

Таким образом, уравнение окружности, описывающей треугольник ABC, равно:
\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\).