Каково значение большой полуоси и периода обращения Луны вокруг Земли, учитывая, что минимальное расстояние от Луны

Matvey

18

Для решения этой задачи нам необходимо использовать третий закон Кеплера и приемы сравнения космических разделов, основанные на формуле полуоси круговой орбиты.

Первым делом, обратимся к закону Кеплера. Третий закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения небесного тела \(T\) пропорционален кубу большой полуоси орбиты \(a\) этого небесного тела. То есть, мы можем записать этот закон в виде уравнения:

\[T^2 = k \cdot a^3\]

где \(k\) - постоянная, зависящая от системы единиц, которую мы используем.

Теперь обратим внимание на заданные значения: минимальное расстояние от Луны до Земли - 365200 км, а максимальное - 403600 км.

Мы знаем, что период обращения Луны вокруг Земли составляет примерно 27.3 дня или около 27.3 суток. Запишем это значение в системе СИ (секунды):

\[T = 27.3 \times 24 \times 60 \times 60\]

Теперь мы можем использовать эти данные, чтобы найти значение большой полуоси орбиты Луны вокруг Земли, используя уравнение третьего закона Кеплера. Но перед этим, давайте приведем все значения в систему СИ и найдем постоянную \(k\).

Переведем минимальное и максимальное расстояния от Луны до Земли в метры:

\[r_{\text{мин}} = 365200 \times 1000\]

\[r_{\text{макс}} = 403600 \times 1000\]

Теперь найдем постоянную \(k\). Для этого мы можем использовать формулу для вычисления периода орбиты Земли \(T_{\text{З}}\) вокруг Солнца с известной большой полуосью орбиты Земли \(a_{\text{З}}\):

\[ T_{\text{З}}^2 = k \cdot a_{\text{З}}^3\]

Зная, что период обращения Земли вокруг Солнца составляет приблизительно 365.25 суток, и что большая полуось орбиты Земли составляет 1 астрономическую единицу (А.Е.) в системе СИ, мы можем записать следующее:

\[365.25^2 \times 24^2 \times 60^2 \times 60^2 = k \times (1.49597871 \times 10^{11})^3\]

Решив это уравнение, мы найдем значение постоянной \(k\).

Теперь мы можем использовать постоянную \(k\) и период обращения Луны \(T\) для нахождения большой полуоси орбиты Луны \(a\):

\[T^2 = k \cdot a^3\]

\[a = \sqrt[3]{\frac{T^2}{k}}\]

Подставим известные значения и решим:

\[a = \sqrt[3]{\frac{(27.3 \times 24 \times 60 \times 60)^2}{k}}\]

Теперь, используя найденное значение для большой полуоси орбиты Луны, рассчитаем период обращения Луны \(T\) по формуле:

\[T = \sqrt{\frac{k \cdot a^3}{k}}\]

Подставим известные значения и решим:

\[T = \sqrt{\frac{k \cdot (365200 \times 1000)^3}{k}}\]

Таким образом, получим значения большой полуоси орбиты Луны и периода обращения Луны вокруг Земли.