Каково значение cos(a+B), если tga = -24/7 и tgB = 15/8?

Ледяной_Огонь

32

Чтобы найти значение выражения \( \cos(a + B) \), нам необходимо знать значения тригонометрических функций \( \tan(a) \) и \( \tan(B) \). Дано, что \( \tan(a) = -\frac{24}{7} \) и \( \tan(B) = \frac{15}{8} \).

Сначала найдем \( \sin(a) \) и \( \cos(a) \) с использованием связи между тригонометрическими функциями:

\[ \sin(a) = \frac{\tan(a)}{\sqrt{1 + \tan^2(a)}} \]
\[ \cos(a) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(a)}} \]

Подставляем значение \( \tan(a) = -\frac{24}{7} \) и находим:

\[ \sin(a) = \frac{-\frac{24}{7}}{\sqrt{1 + \left(-\frac{24}{7}\right)^2}} \]
\[ \cos(a) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{24}{7}\right)^2}} \]

Рассчитываем значения \( \sin(a) \) и \( \cos(a) \):

\[ \sin(a) \approx -0.9759 \]
\[ \cos(a) \approx -0.2182 \]

Затем найдем \( \sin(B) \) и \( \cos(B) \) с использованием того же подхода:

\[ \sin(B) = \frac{\tan(B)}{\sqrt{1 + \tan^2(B)}} \]
\[ \cos(B) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(B)}} \]

Подставляем значение \( \tan(B) = \frac{15}{8} \) и находим:

\[ \sin(B) = \frac{\frac{15}{8}}{\sqrt{1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2}} \]
\[ \cos(B) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2}} \]

Рассчитываем значения \( \sin(B) \) и \( \cos(B) \):

\[ \sin(B) \approx 0.8870 \]
\[ \cos(B) \approx 0.4629 \]

Затем используем формулу для суммы углов:

\[ \cos(a + B) = \cos(a)\cos(B) - \sin(a)\sin(B) \]

Подставляем значения \( \cos(a) \), \( \sin(a) \), \( \cos(B) \), \( \sin(B) \) и рассчитываем \( \cos(a + B) \):

\[ \cos(a + B) \approx (-0.2182)(0.4629) - (-0.9759)(0.8870) \]

\[ \cos(a + B) \approx -0.3463 - (-0.8645) \]

\[ \cos(a + B) \approx -0.3463 + 0.8645 \]

\[ \cos(a + B) \approx 0.5182 \]

Таким образом, значение \( \cos(a + B) \) при заданных условиях равно примерно 0.5182.