Каково значение производной функции y=4^x/ln16 в данной точке?

Skvoz_Pesok

4

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать правило дифференцирования сложных функций и правило дифференцирования степенной функции. Давайте начнем!

Функция, данная в задаче, выглядит следующим образом: \(y = \frac{4^x}{\ln{16}}\).

Перейдем к вычислению производной этой функции. Применим правило дифференцирования сложной функции, сначала найдя производную внутренней функции и затем производную внешней функции.

1. Найдем производную внутренней функции \(4^x\). Это степенная функция, а производная степенной функции имеет следующую формулу: \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln{a}\), где \(a\) - база степени.

Для нашей функции внутренней функцией является \(4^x\), а база степени равна \(4\). Применяя формулу, получаем:
\(\frac{d}{dx}(4^x) = 4^x \cdot \ln{4}\).

2. Теперь найдем производную внешней функции \(\frac{4^x}{\ln{16}}\). Для этого нам потребуется применить правило дифференцирования частного функций.

Формула для этого правила выглядит так: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f"(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g"(x)}{(g(x))^2}\).

Применяя это правило к нашей функции, получаем:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{4^x}{\ln{16}}\right) = \frac{(4^x \cdot \ln{4}) \cdot \ln{16} - 4^x \cdot 0}{(\ln{16})^2}\).

3. Упростим выражение. Учитывая, что \(4^x\) является общим множителем для числителя, получим следующее:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{4^x}{\ln{16}}\right) = \frac{(4^x \cdot \ln{4}) \cdot \ln{16}}{(\ln{16})^2}\).

4. Теперь осталось найти значение производной в данной точке. Выражение для значения производной в точке \(x=a\) будет выглядеть так:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{4^x}{\ln{16}}\right) \Bigg|_{x=a}\).

Подставив \(x=a\) в полученное выражение и упростив, получим окончательный ответ. Но так как в задаче не дана конкретная точка, к которой надо найти производную, ответ останется в общем виде, как указано выше.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять процесс нахождения производной функции \(y=\frac{4^x}{\ln{16}}\) в данной точке. Если у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь задавать их!