Каково значение средней скорости частицы от начала движения до прохождения ею определенной координаты, если в момент

Romanovna

68

Для решения данной задачи, нам необходимо найти среднюю скорость частицы от начала движения до прохождения определенной координаты.

Зная, что скорость частицы задана функцией \( v = \frac{b}{z^{2/3}} \), где \( v \) - скорость, \( b \) - постоянная, \( z \) - координата по оси z, начинающаяся с нуля в начальный момент времени \( t = 0 \).

Чтобы найти среднюю скорость, мы должны интегрировать скорость по времени от начального момента до момента прохождения частицы определенной координаты. Давайте обозначим это моментом времени \( t \).

Интегрируя скорость по времени, мы получим путь, пройденный частицей от начала движения до координаты \( z \):

\[ s = \int_{0}^{t} v \, dt = \int_{0}^{t} \frac{b}{z^{2/3}} \, dt \]

Так как нам нужно найти значение средней скорости, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[ \text{средняя скорость} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

где \( \Delta s \) - изменение пути, пройденного частицей, а \( \Delta t \) - изменение времени, прошедшего.

Разделив путь на время, получим среднюю скорость частицы от начала движения до момента прохождения координаты \( z \):

\[ \text{средняя скорость} = \frac{s}{t} \]

Теперь, чтобы продолжить решение, нам необходимо проинтегрировать скорость по времени:

\[ s = \int_{0}^{t} \frac{b}{z^{2/3}} \, dt \]

Для интегрирования данной функции нам потребуется замена переменной \( u = z^{1/3} \). Рассчитаем производные от \( u \) по \( t \) и от \( z \) по \( u \):

\[ \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} (z^{1/3}) = \frac{1}{3} z^{-2/3} \frac{dz}{dt} \]

\[ \frac{dz}{du} = \frac{d}{du} (u^3) = 3u^2 \]

Выразим \( \frac{dz}{dt} \) из первого уравнения:

\[ \frac{dz}{dt} = 3u^2 \frac{du}{dt} \]

Теперь подставим это выражение в интеграл:

\[ s = \int_{0}^{t} \frac{b}{z^{2/3}} \, dt = \int_{0}^{t} \frac{b}{(u^3)^{2/3}} \, dt = \int_{0}^{t} \frac{b}{u^2} \cdot 3u^2 \frac{du}{dt} \, dt \]

Упростим выражение:

\[ s = 3b \int_{0}^{t} du = 3b \cdot (u - 0) = 3b \cdot u \]

Теперь, найдем значение средней скорости, разделив \( s \) на \( t \):

\[ \text{средняя скорость} = \frac{s}{t} = \frac{3bu}{t} \]

Помним, что мы использовали замену переменной \( u = z^{1/3} \). Осталось только выразить \( u \) через \( z \) и получить итоговый ответ. Выразим \( u \) из замены переменной:

\[ u = z^{1/3} \]

Подставляем это значение в формулу для средней скорости:

\[ \text{средняя скорость} = \frac{3b \cdot z^{1/3}}{t} \]

Итак, значение средней скорости частицы от начала движения до прохождения ею определенной координаты составляет \( \frac{3b \cdot z^{1/3}}{t} \).

Надеюсь, этот пошаговый и обоснованный ответ будет полезен для понимания задачи школьником. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!