Каково значение выражения 2 в степени -2, плюс обратное значение 12, разделенное на 7 в степени

Суслик

69

Дано выражение: \(2^{-2} + \frac{1}{12} - \frac{1}{7^2}\).

Шаг 1: Начнем с рассмотрения первого слагаемого \(2^{-2}\). Чтобы понять значение этого выражения, вспомним основное свойство степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).

Применяя это свойство, получаем: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\).

Шаг 2: Теперь рассмотрим второе слагаемое \(\frac{1}{12}\). Здесь нет необходимости в каких-либо дополнительных преобразованиях.

Шаг 3: Перейдем к третьему слагаемому \(\frac{1}{7^2}\). Заметим, что \(7^2 = 7 \cdot 7 = 49\). Тогда получаем: \(\frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\).

Шаг 4: Составим окончательное выражение, заменяя каждое слагаемое на его значение:

\[
2^{-2} + \frac{1}{12} - \frac{1}{7^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{1}{49}
\]

Шаг 5: Теперь можно произвести вычисления. Для удобства, найдем общий знаменатель для трех дробей. Найдем НОК (наименьшее общее кратное) для чисел 4, 12 и 49.

Простейшим способом найти НОК является разложение названных чисел на простые множители:

\begin{align*}
4 &= 2^2 \\
12 &= 2^2 \cdot 3 \\
49 &= 7^2
\end{align*}

Один из способов найти НОК - это взять максимальные степени каждого простого множителя:

\[
\text{НОК}(4, 12, 49) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2 = 4 \cdot 3 \cdot 49 = 588
\]

Теперь выразим каждую дробь с общим знаменателем и приведем их к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{1}{49} = \frac{1 \cdot 147 + 1 \cdot 49 - 3 \cdot 4}{588} = \frac{147 + 49 - 12}{588}
\]

Шаг 6: Произведем вычисления в числителе и упростим:

\[
\frac{147 + 49 - 12}{588} = \frac{184}{588}
\]

Шаг 7: Чтобы получить окончательный ответ, можно упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). В данном случае, НОД числителя и знаменателя равен 4:

\[
\frac{184}{588} = \frac{46}{147}
\]

Таким образом, значение данного выражения равно \(\frac{46}{147}\).