Каковы численные значения кинетической и потенциальной энергии через 20 секунд после начала колебаний тела массой

Pingvin_1196

26

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулы для кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия (К) определяется формулой:
\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]

Потенциальная энергия (П) можно найти как разность полной механической энергии (Э) и кинетической энергии:
\[ П = Э - K \]

Сначала найдем значение координаты \( x \) через 20 секунд после начала колебаний. Для этого подставим значение времени \( t = 20 \) сек в уравнение колебаний:
\[ x = 0.1 \sin\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \]
\[ x = 0.1 \sin\left(\frac{\pi \cdot 20}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \]
\[ x = 0.1 \sin\left(10\pi + \frac{\pi}{6}\right) \]
\[ x = 0.1 \sin\left(\frac{61\pi}{6}\right) \]

Теперь мы можем найти скорость (v) тела по формуле:
\[ v = \frac{dx}{dt} \]
\[ v = \frac{d}{dt}\left(0.1 \sin\left(\frac{61\pi}{6}\right)\right) \]
\[ v = 0.1 \cdot \frac{d}{dt}\left(\sin\left(\frac{61\pi}{6}\right)\right) \]

Для нахождения производной синуса, мы можем использовать цепное правило дифференцирования:
\[ \frac{d}{dt}\left(\sin(t)\right) = \cos(t) \]
\[ \frac{d}{dt}\left(\sin\left(\frac{61\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(\frac{61\pi}{6}\right) \]

Теперь мы можем найти значение скорости \( v \):
\[ v = 0.1 \cdot \cos\left(\frac{61\pi}{6}\right) \]

Далее, мы можем найти значение кинетической энергии \( K \) с использованием массы тела (m) и значения скорости (v):
\[ K = \frac{1}{2} \cdot 0.005 \cdot \left(0.1 \cdot \cos\left(\frac{61\pi}{6}\right)\right)^2 \]

А чтобы найти значение полной механической энергии (Э), мы можем использовать формулу:
\[ Э = П + K \]

Наконец, зная значение полной механической энергии (Э) и кинетической энергии (K), мы можем найти значение потенциальной энергии (П) путем вычитания кинетической энергии из полной механической энергии.

Теперь, используя формулы и вычисления, можно найти численные значения кинетической и потенциальной энергий через 20 секунд после начала колебаний тела массой 5 г, описываемых уравнением \(x = 0.1\sin\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\), а также полной энергии тела.