Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 10 см и 8 см, а угол между ними составляет 120°?

Сон

26

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, нужно применить теорему косинусов. Эта теорема связывает стороны треугольника с косинусом одного из его углов.

Давайте обозначим параллелограмм буквой ABCD, где AB и BC - стороны параллелограмма, а \(\angle ABC\) - угол между сторонами. Мы знаем, что AB = 10 см и BC = 8 см, а угол ABC = 120°.

Теперь мы можем приступить к решению:

1. Используем теорему косинусов для нахождения длины одной из диагоналей:

Для этого посмотрим на треугольник ABC с известными сторонами AB = 10 см, BC = 8 см и углом ABC = 120°. Обозначим диагональ параллелограмма как BD.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
\[\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставим известные значения:
\[\overline{BD}^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(120°)\]

Вычислим значение:
\[\overline{BD}^2 = 100 + 64 - 160 \cdot \cos(120°)\]

120° в радианах равняется \(\frac{2\pi}{3}\), поскольку полный оборот равен 360°, а \(\frac{2\pi}{3}\) составляет треть оборота.

\[\overline{BD}^2 = 164 - 160 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\]

Теперь можно рассчитать это значение:
\[\overline{BD}^2 = 164 - 160 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 164 + 80 = 244\]

Как мы видим, \(\overline{BD}^2 = 244\). Значит, \(\overline{BD} = \sqrt{244}\approx 15.62\) (округляем до двух десятичных знаков).

Таким образом, длина диагонали BD равна примерно 15.62 см.

2. Теперь рассмотрим треугольник BCD, где известны стороны BC = 8 см, BD = 15.62 см и угол между ними равен 120°.

Снова применим теорему косинусов:
\[\overline{AC}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{BD}^2 - 2 \cdot \overline{BC} \cdot \overline{BD} \cdot \cos(\angle BCD)\]

Подставляя известные значения:
\[\overline{AC}^2 = 8^2 + (15.62)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15.62 \cdot \cos(120°)\]

Вычисляем значение:
\[\overline{AC}^2 = 64 + 243.7044 - 249.76 \cdot \cos(120°)\]

Угол 120° в радианах равен \(\frac{2\pi}{3}\).

\[\overline{AC}^2 = 307.7044 - 249.76 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\]

Вычисляем это значение:
\[\overline{AC}^2 = 307.7044 - 249.76 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 307.7044 + 124.88 = 432.5844\]

Таким образом, \(\overline{AC}^2 = 432.5844\). Значит, \(\overline{AC} = \sqrt{432.5844}\approx 20.8\) (округляем до одного десятичного знака).

Итак, длина диагонали AC составляет около 20.8 см.

В итоге, длины диагоналей параллелограмма при данных условиях равны примерно 15.62 см и 20.8 см.

Надеюсь, этот объяснение понятно и полезно для вас! Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.