Каковы длины диагоналей параллелограмма с сторонами 7 см и 6 корней из 2 см, при условии, что один из углов равен

Liska

21

Чтобы определить длину диагоналей параллелограмма, необходимо воспользоваться формулой косинусов. Правильно понять и применить эту формулу поможет геометрическое представление параллелограмма.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Он также имеет две противоположные параллельных стороны и две параллельных диагонали. Важно отметить, что углы параллелограмма смежные и сумма всех углов равна 360 градусов.

Теперь, для решения задачи нам необходимы длины сторон и известный угол. Данная информация позволяет нам найти другие углы параллелограмма. Поскольку один из углов равен 45 градусам, то второй угол равен 180 градусов - 45 градусов = 135 градусов.

Теперь мы можем приступить к нахождению длин диагоналей. Для удобства, обозначим стороны параллелограмма следующим образом: \(a = 7\) см и \(b = 6\sqrt{2}\) см.

Диагонали параллелограмма представляют собой отрезки, соединяющие противоположные вершины. Пусть диагонали обозначены как \(d_1\) и \(d_2\).

Теперь мы можем использовать формулу косинусов. В данной задаче мы знаем две стороны параллелограмма и угол между ними. Формула косинусов выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

где \(c\) - диагональ параллелограмма, \(a\) и \(b\) - стороны параллелелограмма, \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Применяя формулу косинусов к первой диагонали, получим:

\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

\[d_1^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)\]

\[d_1^2 = 49 + 72 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

\[d_1^2 = 121 + 84\sqrt{2}\]

\[d_1 = \sqrt{121 + 84\sqrt{2}}\]

\[d_1 \approx 13.455\text{ см}\]

Аналогичным образом, применяя формулу косинусов ко второй диагонали, получим:

\[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

\[d_2^2 = 7^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)\]

\[d_2^2 = 49 + 72 - 2 \cdot 7 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

\[d_2^2 = 121 - 84\sqrt{2}\]

\[d_2 = \sqrt{121 - 84\sqrt{2}}\]

\[d_2 \approx 2.033\text{ см}\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма при заданных условиях равны примерно 13.455 см и 2.033 см.