Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см, а синус одного из острых углов равен

Tainstvennyy_Mag

20

Давайте решим задачу по нахождению длин катетов прямоугольного треугольника. Вам дано, что гипотенуза треугольника равна 17 см, а синус одного из острых углов равен 8/17.

Для начала, давайте вспомним определение синуса угла. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Обозначим один из острых углов треугольника через \(A\), а лежащий на гипотенузе составляющий катет через \(B\).

Имея синус угла \(A\), мы знаем, что \(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\), где \(BC\) - противоположный катет, а \(AB\) - гипотенуза. Подставив известные значения, получаем \(\frac{{8}}{{17}} = \frac{{BC}}{{17}}\).

Теперь, чтобы найти длину катета \(BC\), нам нужно решить уравнение относительно \(BC\). Умножим обе части уравнения на 17, чтобы избавиться от знаменателя: \(8 = BC\).

Таким образом, мы нашли, что противоположный катет \(BC\) равен 8 см. Затем, чтобы найти второй катет, мы можем использовать теорему Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обозначим второй катет через \(AC\).

Имеем:
\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]
\[AC^2 = 17^2 - 8^2\]
\[AC^2 = 289 - 64\]
\[AC^2 = 225\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы найти длину катета \(AC\):
\[AC = \sqrt{225} = 15\]

Таким образом, длина второго катета \(AC\) равна 15 см.

Итак, ответ на задачу: длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см соответственно.