Каковы длины сторон параллелограмма, если одна из сторон на 4 см короче другой, а его диагонали имеют длины 14 см

Tainstvennyy_Orakul_267

61

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства параллелограмма и применить теорему Пифагора.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Поэтому, если одна из сторон параллелограмма короче другой на 4 см, то длина этих сторон будет равна \(x\) и \(x+4\) см соответственно.

Дано, что диагонали параллелограмма имеют длины 14 см и 10 см. Обозначим эти диагонали буквами \(d_1\) и \(d_2\).

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применим эту теорему к параллелограмму:

\[
d_1^2 = x^2 + (x+4)^2
\]

\[
d_2^2 = x^2 + (x+4)^2
\]

Теперь выразим длины сторон параллелограмма через длины диагоналей:

\[
d_1^2 + d_2^2 = x^2 + (x+4)^2 + x^2 + (x+4)^2 = 14^2 + 10^2
\]

Раскроем скобки:

\[
2x^2 + 8x + 16 + 2x^2 + 8x + 16 = 196 + 100
\]

Сократим подобные слагаемые:

\[
4x^2 + 16x + 32 = 296
\]

Получим квадратное уравнение:

\[
4x^2 + 16x - 264 = 0
\]

Решим это уравнение, используя квадратные корни:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

Где: \(a = 4\), \(b = 16\), и \(c = -264\).

Вычислим дискриминант:

\[
D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-264)
\]

\[
D = 256 + 4224 = 4480
\]

Теперь найдем значения \(x\), используя формулу:

\[
x = \frac{{-16 \pm \sqrt{{4480}}}}{{2 \cdot 4}}
\]

Вычислим корни:

\[
x_1 = \frac{{-16 + \sqrt{{4480}}}}{{8}}
\]

\[
x_2 = \frac{{-16 - \sqrt{{4480}}}}{{8}}
\]

\[
x_1 = \frac{{-16 + 67.082}}{{8}} \approx 8.135
\]

\[
x_2 = \frac{{-16 - 67.082}}{{8}} \approx -11.73
\]

Так как стороны параллелограмма не могут иметь отрицательную длину, мы отбрасываем отрицательное значение \(x_2\), оставляя только \(x_1 = 8.135\) см.

Таким образом, длина сторон параллелограмма составляет приблизительно 8.135 см и 12.135 см, где одна сторона короче другой на 4 см.